Question

Луч AD – биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что АDВ = АDС . Докажите, что АВ = АС

Answer 1

Угол А делиться на 2 равных (биссектриса) BAD=CAD. по условию еще 2 угла равны. а AD  - общая для 2-х треугольников. Получаем  - сторона и прилежащих к ней 2 угла одного треугольника = сторону и прилежащим к ней углам другого треугольник  = треуголники равны, значит и все их элементы равны, в т.ч. AB=AC

Answer 2

Для доказательства равенства отрезков AB и AC, мы можем воспользоваться тем, что AD является биссектрисой угла A, а также тем, что треугольники ADВ и ADC равны по условию (ADВ = ADC).

Рассмотрим треугольник ADВ. Из условия ADВ = ADC следует, что у них равны углы при вершине D, угол ADВ равен углу ADC.

Также, по определению биссектрисы, углы при основании треугольника ADВ равны. То есть, угол DAB = углу DAC.

Теперь у нас есть два треугольника (ADB и ADC) с равными углами DAB и DAC, и углами при вершине D. Это значит, что эти треугольники подобны.

Так как треугольники ADВ и ADC подобны, отношение соответствующих сторон AD/AD, AB/AC и BD/DC равно. Но AD/AD = 1, следовательно, AB/AC = BD/DC.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нем угол BAD равен сумме углов DAB и DBA (по свойству углов треугольника). Так как DAB = DAC и углы при вершине D равны, то угол BAD в треугольнике ABD равен углу CAD.

Таким образом, треугольники ABD и CAD подобны по углам. Из этого следует, что соответствующие стороны тоже пропорциональны: AB/AC = BD/CD.

Мы уже знаем, что AB/AC = BD/DC. Таким образом, BD/DC = BD/CD. Поскольку BD не может быть равно нулю, это значит, что DC = CD.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. В нем AC = AD + CD. Но мы только что выяснили, что CD = DC, следовательно, AC = AD + DC.

Так как AD является биссектрисой угла A, то по определению биссектрисы AD делит угол на два равных угла, а значит, угол CAD равен углу BAD. Таким образом, треугольники ABD и CAD равны.

Таким образом, AC = AD + CD = AD + DC = AB. Следовательно, AB = AC, что и требовалось доказать.