Question

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. докажите что BD касается окружности с центром C и радиусом равным AD

Answer 1

ууу, а я думал - задача...

AD = CD. СD перпендикулярно BD, поэтому прямая BD имеет с построенной окружностью только одну общую точку D - все остальные точки будут ДАЛЬШЕ от С.

То есть BD - касательная. чтд.

Answer 2

Для доказательства утверждения о том, что отрезок \( BD \) касается окружности с центром \( C \) и радиусом, равным \( AD \), рассмотрим следующую ситуацию:

1. Пусть у нас есть равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( AC \). 2. Проведем медиану \( BD \).

Мы хотим доказать, что \( BD \) касается окружности с центром \( C \) и радиусом \( AD \). Для этого докажем, что треугольник \( ABD \) является прямоугольным и \( BD \) является высотой этого треугольника.

Рассмотрим треугольник \( ABC \). Из условия равнобедренности треугольника следует, что углы при вершине \( B \) и у основания \( AC \) равны. Обозначим их через \( \alpha \).

Также из условия медианы мы знаем, что \( BD \) делит сторону \( AC \) пополам, то есть \( AD = DC \).

Теперь рассмотрим треугольник \( ABD \). Мы видим, что у него две стороны равны (\( AD = DC \)) и углы при вершине \( B \) и у основания \( AD \) тоже равны (\( \alpha \)). Следовательно, треугольник \( ABD \) - равнобедренный.

Так как у треугольника \( ABD \) две равные стороны и равные углы при основании, то он является прямоугольным. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник \( ABD \) с \( BD \) в качестве высоты.

Теперь докажем, что \( BD \) касается окружности с центром \( C \) и радиусом \( AD \). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABD \) и посмотрим на его гипотенузу \( AB \) и катет \( BD \).

Из свойства прямоугольного треугольника следует, что \( BD \) - это высота, опущенная из прямого угла \( B \) на гипотенузу \( AB \). Однако, так как \( AD = DC \), гипотенуза \( AB \) также является радиусом окружности с центром \( C \) и радиусом \( AD \).

Таким образом, мы доказали, что \( BD \) касается окружности с центром \( C \) и радиусом \( AD \).