Question

Докажите задачу от противного. Докажите, что если в треугольнике ABC стороны AB и AC не равны, то медиана AM треугольника не является высотой.

Answer 1

Я рассмотрю треугольник у которого боковые есть :AB, BC
Пусть в треугольнике ABC AB=a,  BC=b.  причем a не равно b
опустим медиану BH и предположим что она высота 
т.к. BH-медиана, то AH=HC=x
т.к BH-высота, то треугольники ABH и BHC -прямоугольные, а боковые стороны ABC - их соответственные гипотенузы.
тогда по теореме пифагора для ABH, x^2=a^2-h^2, где h-высота и медиана.
в треугольнике BHC по теор. пифагора x^2=b^2-h^2
т.к. x^2=x^2
то
a^2-h^2=b^2-h^2
откуда
a^2=b^2
значит
a=b
что противоречит условию, следовательно медиана в таком трекгольнике не является высотой

Answer 2

Давайте докажем это утверждение от противного.

Предположим, что в треугольнике ABC стороны AB и AC не равны, и медиана AM не является высотой. Посмотрим на возможные случаи:

1. Медиана AM перпендикулярна стороне BC: Если AM является медианой, она делит сторону BC пополам, и мы предполагаем, что AM также перпендикулярна BC. Теперь рассмотрим треугольники ABM и ACM.

Если AM делит BC пополам, то BM = CM, так как это медиана. Также, у нас есть предположение, что AB ≠ AC.

Рассмотрим треугольники ABM и ACM. У нас есть следующие равенства: - BM = CM (по построению медианы) - AB ≠ AC (по предположению)

Следовательно, треугольники ABM и ACM не могут быть равнобедренными, так как их основания не равны (AB ≠ AC). Однако, если AM - медиана и перпендикулярна BC, то ABM и ACM должны быть равнобедренными, что противоречит предположению.

2. Медиана AM не перпендикулярна стороне BC: Если AM не перпендикулярна BC, то она не может быть высотой, так как высота проводится из вершины треугольника к противоположной стороне перпендикулярно ей.

Таким образом, в обоих случаях мы приходим к противоречию, исходя из предположения, что медиана AM не является высотой. Следовательно, если стороны AB и AC треугольника ABC не равны, то медиана AM является высотой.