Question

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 23 см і дорівнює апофемі. Знайти площину повної поверхні піраміди

Answer 1

Всё решаем по формулам.

Answer 2

Щоб знайти площу повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, потрібно додати площу основи до суми площ бічних граней.

Площа основи чотирикутної піраміди може бути знайдена за формулою: \[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основи} \times \text{апофема} \]

Дано, що сторона основи дорівнює 23 см, тобто, якщо позначити довжину сторони через \( a \), то периметр основи (\( P \)) буде: \[ P = 4 \times a \]

Апофема піраміди також дорівнює 23 см.

Тепер можна знайти площу основи: \[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times P \times \text{апофема} \]

\[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 4a \times 23 \]

\[ S_{\text{осн}} = 46a \]

Тепер потрібно знайти площу бічних граней піраміди. Враховуючи, що це правильна піраміда, кожна бічна грань є рівностороннім трикутником. Площа рівностороннього трикутника може бути знайдена за формулою: \[ S_{\text{бг}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{сторона}^2 \]

Для нашої піраміди сторона трикутника на бічній грані рівна а, тобто: \[ S_{\text{бг}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \]

Отже, площа бічної грані: \[ S_{\text{бг}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \]

Оскільки у нас є чотири бічні грані, то сума площ бічних граней: \[ S_{\text{бг, сума}} = 4 \times S_{\text{бг}} \]

\[ S_{\text{бг, сума}} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \]

\[ S_{\text{бг, сума}} = \sqrt{3} \times a^2 \]

Тепер можемо знайти повну площу поверхні піраміди, додаючи площу основи і суму площ бічних граней: \[ S_{\text{повна}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бг, сума}} \]

\[ S_{\text{повна}} = 46a + \sqrt{3}a^2 \]

Отже, це є вираз для площі повної поверхні чотирикутної піраміди в залежності від довжини сторони \(a\).