Question

окружность вписана в прямоугольный треугольник АВС. угол С=90 градусов. АВ=25, АС=7, ВС=24. Найти радиус окружности.

Answer 1

Радиус=(АС+ВС-АВ)/2=(7+24-25)/2=3

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства вписанных фигур.

Основные свойства окружности, вписанной в треугольник:

1. Лучи, проведенные из центра окружности к точкам касания, являются перпендикулярами к соответствующим сторонам треугольника. 2. Радиус окружности, проведенный к точке касания, является биссектрисой угла, образованного этой стороной треугольника и его продолжением.

Решение задачи:

По условию задачи, треугольник ABC является прямоугольным, причем угол C равен 90 градусов. Дано, что AB = 25, AC = 7 и BC = 24.

Мы знаем, что окружность вписана в треугольник, поэтому лучи, проведенные из центра окружности к точкам касания, будут перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника. Пусть O - центр окружности, и пусть P, Q и R - точки касания окружности со сторонами треугольника AB, AC и BC соответственно.

Найдем радиус окружности:

1. По свойству 1, луч OP будет перпендикулярен стороне AB в точке P. Значит, треугольник AOP будет прямоугольным, и мы можем использовать его для решения задачи. 2. Используя свойства прямоугольного треугольника, найдем длину отрезка OP. Мы знаем, что AO = AP + OP, где AO - радиус окружности, AP - длина отрезка, проведенного из центра окружности к точке касания на стороне AB, OP - длина отрезка, проведенного из точки P к точке O. 3. Так как окружность вписана в треугольник, то AP = AB/2 = 25/2. 4. Также из прямоугольности треугольника AOP следует, что AO = AC - CO = 7 - CO, где CO - длина отрезка, проведенного из точки C к точке O. 5. Отсюда получаем уравнение: 7 - CO = 25/2 + OP.

Продолжим решение:

6. По свойству 2, радиус окружности, проведенный к точке касания, является биссектрисой угла, образованного этой стороной треугольника и его продолжением. Значит, угол AOC является прямым и равен 90 градусов. 7. Из этого следует, что треугольник AOC также является прямоугольным. 8. Используя свойства прямоугольного треугольника, найдем длину отрезка CO. Мы знаем, что CO = CA - AO = 7 - AO.

Теперь мы можем составить уравнение и решить его:

7 - CO = 25/2 + OP, 7 - (7 - AO) = 25/2 + OP, AO = 25/2 + OP.

Подставим значение AO:

AO = 25/2 + OP, 7 - CO = 25/2 + OP.

Далее, заменим CO:

7 - (7 - AO) = 25/2 + OP, 7 - (7 - (25/2 + OP)) = 25/2 + OP, 7 - 7 + 25/2 + OP = 25/2 + OP.

Сократим:

25/2 = 25/2.

Таким образом, радиус окружности равен 25/2.