Question

В параллелограмме ABCD со стороной BC=72, биссектрисы углов A и D пересекаются в точке К, принадлежащей стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма. Найдите площадь параллелограмма, если известно, что угол А равен 60 градусов.

Answer 1

<BKA=<BAK-накрест лежащие
<BAK=<DAK,AK-биссектриса
<BAK=<BKA⇒AB=BK
<CKD=<ADK-накрест лежащие
<CDK=<ADK,DK-биссектриса
<CKD=<CDK⇒KC=CD
BK=AB=x,CK=CD=72-x
AB=CD⇒x=72-x
2x=72
x=36
AB=CD=36
P=2(AB+BC)=2(36+72)=216
S=AB*AD*sin60=36*72*√3/2=1296√3

Answer 2

Для решения этой задачи давайте разберёмся с тем, как можно найти периметр и площадь параллелограмма.

Из условия задачи мы знаем, что биссектрисы углов A и D пересекаются в точке K, принадлежащей стороне BC. Это означает, что у нас есть параллелограмм ABCD, где BK и CK - биссектрисы углов A и D соответственно.

Также известно, что BC = 72 и угол A равен 60 градусов.

Нахождение периметра параллелограмма:

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. В параллелограмме противоположные стороны равны.

Поскольку BC = CD (по свойствам параллелограмма), то CD также равно 72.

Теперь, чтобы найти AB и AD, мы можем использовать свойства параллелограмма. У параллелограмма противоположные стороны равны.

Таким образом, AB = CD = 72 и AD = BC = 72.

Периметр параллелограмма равен сумме длин его сторон: \[P = AB + BC + CD + DA = 72 + 72 + 72 + 72 = 288.\]

Нахождение площади параллелограмма:

Формула для площади параллелограмма: \(S = \text{основание} \times \text{высота}\)

В данном случае, высота параллелограмма - это отрезок BK, поскольку он проведен из вершины A и перпендикулярен стороне AD.

Также, по свойствам биссектрисы, BK = KC.

Так как угол A равен 60 градусам, треугольник ABK является равносторонним (из-за BK = KC и угла A).

Теперь можем найти высоту параллелограмма. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника (ABK) связан с его стороной следующим образом: \[R = \frac{\text{сторона}}{\sqrt{3}}.\]

Таким образом, \(BK = KC = \frac{AB}{2} = \frac{72}{2} = 36\), так как AB = BC = 72.

Теперь найдем высоту треугольника ABK, которая будет также являться высотой параллелограмма.

Используем теорему Пифагора в треугольнике ABK: \[h^2 = AB^2 - BK^2 = 72^2 - 36^2 = 5184 - 1296 = 3894.\] \[h = \sqrt{3894} \approx 62.42.\]

Теперь, площадь параллелограмма: \[S = \text{основание} \times \text{высота} = BC \times h = 72 \times 62.42 \approx 4498.24.\]

Итак, периметр параллелограмма составляет 288, а площадь около 4498.24 (единицы измерения не указаны в условии).