Question

Докажите,что треугольник ABCD с вершинами в точках А(1;2;-4),В(-2;3;1),С(-2;4;3),D(1;4;0)трапеция с основаниями AD и BC.

Answer 1

Можно доказать что векторы AD и BC коллинерны, а векторы AB  и  CD не коллинеарны.
$AD=(0;2;4);BC=(0;1;2);$ Т к  $AD=2BC$, то векторы коллинеарны,
$AB=(-3;1;5); CD=(3;0;-3);$$AB \neq k*CD$, то векторы не коллинеарны
ABCD - трапеция

Answer 2

Проверка того, что треугольник ABCD является трапецией

Для того чтобы доказать, что треугольник ABCD является трапецией с основаниями AD и BC, нам нужно показать, что у него есть хотя бы одна пара параллельных сторон.

Для начала, найдем векторы AB, AC, AD и BC:

Вектор AB: \[ \vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 - 1 \\ 3 - 2 \\ 1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \]

Вектор AC: \[ \vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 - 1 \\ 4 - 2 \\ 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \]

Вектор AD: \[ \vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 - 1 \\ 4 - 2 \\ 0 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \]

Вектор BC: \[ \vec{BC} = \begin{pmatrix} -2 + 2 \\ 4 - 3 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Теперь, проверим, являются ли векторы AD и BC параллельными. Для этого посмотрим, равны ли они, если один из них умножить на какое-то число. Если это так, то векторы параллельны.

\[ \vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \]

\[ k \vec{BC} = k\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 2k \end{pmatrix} \]

Из этого видно, что векторы AD и BC не параллельны, следовательно, треугольник ABCD не является трапецией с основаниями AD и BC.

Если вы имели в виду другой треугольник или другие координаты, пожалуйста, уточните, и я буду рад помочь вам с доказательством.