Question

Точки A,B,C и D не лежат в одной плоскости.Докажите,что прямые,соединяющие середины отрезков AB и CD,AC и BD,AD и BC, пересекаются в одной точке.Пожалуйста помогите,очень нужно

Answer 1

Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Точки E, F, M и K - середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. 

а) докажите, что EFMK - параллелограмм. 

А к с и о м а 1.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

С л е д с т в и е 1.

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Соединив отрезками данные точки по три: 

А, В и С – получим ∆ АВС. 

А, D и C – получим ∆ ADC

B, D и С  – получим ∆ BDС

B, D и A – получим ∆  BDA.

Отрезок, соединяющий середины двух его сторон называется средней линией треугольника. 

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

EF – средняя линия треугольника АВС и параллельна основанию АС по определению.

КМ – средняя линия треугольника АDC и параллельна основанию АС по определению.  

EF=AC:2, KM=AC:2 ⇒ EF||KM и EF=KM

То же самое верно для КЕ и МF.

Если противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 

------------------------------

б) найдите периметр EFMK, если AC = 6 см, BD = 8 см

КЕ=MF=BD:2=8:2=4

KM=EF=AC:2=6:2=3

P (KMFE)=2•(3+4)=14 см

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством медиан треугольника.

Пусть M и N - середины отрезков AB и CD соответственно. Построим медиану треугольника AMN. По свойству медианы, она проходит через вершину треугольника, деля ее на две равные части. Таким образом, прямая MN проходит через точку O, являющуюся серединой отрезка AC.

Аналогично, построим медиану треугольника BMD, проходящую через точку O. Поскольку O лежит на прямой MN, то она также лежит и на прямой BD, поскольку эта прямая проходит через точку M. Таким образом, прямые MN и BD пересекаются в точке O.

Аналогично, можно доказать, что прямые MN и AC пересекаются в точке O, и прямые AN и BC пересекаются в точке O.

Таким образом, прямые, соединяющие середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, пересекаются все в одной точке O.