Question

Докажите что высота опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника , делит треугольник на два подобных треугольника.

Answer 1

Сначала рассматриваешь большой треугольник и маленький, потом большой и другой маленький , и отсюда следует что маленькие подобны

Answer 2

Для доказательства того, что высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит треугольник на два подобных треугольника, мы можем использовать два свойства подобных треугольников: соответственные углы равны и соответственные стороны пропорциональны.

Доказательство:

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AC - гипотенуза, AB и BC - катеты. Пусть H - точка пересечения гипотенузы с высотой, опущенной из вершины A.

1. Докажем, что угол BAH равен углу AHC (соответствующие углы равны).

Угол BAH является прямым углом, так как высота перпендикулярна гипотенузе. Угол AHC также является прямым углом, так как это угол на окружности, касающейся треугольника ABC и проходящей через точку H (угол, образованный касательной и хордой, равен прямому углу). Следовательно, угол BAH равен углу AHC.

2. Докажем, что стороны AB и AH пропорциональны сторонам AC и HC (соответственные стороны пропорциональны).

Рассмотрим треугольники ABH и ACH. У них есть две пары соответственных углов: угол BAH равен углу AHC (доказано выше), и угол ABH равен углу ACH (по свойству прямых углов). Следовательно, треугольники ABH и ACH подобны по признаку соответственных углов.

По свойству подобных треугольников, стороны этих треугольников пропорциональны. То есть, AB/AC = AH/HC.

Таким образом, мы доказали, что стороны AB и AH пропорциональны сторонам AC и HC.

Итак, мы доказали, что высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит треугольник на два подобных треугольника. Это можно использовать для решения различных задач, связанных с прямоугольными треугольниками и их высотами.