Question

В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник AMNK — ромб

Answer 1

MN - средняя линия тр-ка, ее свойства: она  параллельна стороне, половине которой и равна., то есть MN = AK. То же самое и про NK, которая параллельна и равна АМ. Значит AMNK - ромб

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник AMNK является ромбом, нам нужно показать, что все его стороны равны и что его углы прямые.

1. Доказательство равенства сторон: - Поскольку M - середина стороны AB, то AM = MB. - Аналогично, NK - середина стороны AC, поэтому AN = NC. - Наконец, поскольку K - середина стороны BC, то BK = KC. Из этих равенств следует, что AM = MB = NK = AN = NC = BK, то есть все стороны треугольника AMNK равны.

2. Доказательство прямых углов: - Рассмотрим угол MAN. Поскольку AM = AN (они равны как стороны треугольника AMNK), а M и N - середины сторон AB и AC соответственно, то угол MAN является прямым углом. - Аналогично, угол MKA является прямым углом, поскольку MK = KA и K - середина стороны BC. - Наконец, угол ANK также является прямым углом, так как AN = NK и N - середина стороны AC. Таким образом, все углы треугольника AMNK являются прямыми углами.

Итак, мы доказали, что все стороны треугольника AMNK равны и что его углы прямые. Следовательно, треугольник AMNK является ромбом.