Question

Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая,параллельная основаниям и пересекающая боковые стороны в точках E и F,причем EF=8.Найдите основания трапеции,если их отношение равно 4

Answer 1

Обозначим трапецию АВСD. Пусть ВС=а, тогда АD=4а.  

1) Треугольники, образованные пересекающимися диагоналями и основаниями трапеции, подобны по равным углам: вертикальные при точке пересечения О и накрестлежащие при основаниях, и k=AD:ВС=4:1⇒

АО:СО=4:1

2) Так как ЕF параллельна основаниям трапеции, ∆АВС и ∆АЕО подобны с коэффициентом подобия АО:АС,=4:(4+)=4/5

Аналогично из подобия ∆ ОDF и BDC отношение ОD:ВD=4/5

Тогда ЕО:ВС=ОF:ВС=4/5, откуда ЕО=ОF=8:2=4

Из отношения ЕО:ВС=4/5 находим ВС=5 (ед. длины)

АD=4ВС=4•5=20 (ед. длины)

———

Полезно запомнить  это свойство трапеции:

Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах,делится точкой пересечения диагоналей пополам.

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте обозначим основания трапеции как "a" и "b". Мы знаем, что отношение оснований равно 4, то есть a/b = 4.

Нахождение точек пересечения диагоналей

Для начала, построим трапецию ABCD и отметим точки пересечения диагоналей. Пусть точка пересечения диагоналей будет обозначена как "O".

    A _______ B
     /       \
    /_________\
   D           C

Так как прямая EF параллельна основаниям и пересекает боковые стороны в точках E и F, то мы можем провести параллельные линии из точек E и F, которые пересекутся на диагонали AC в точке O. Пусть точка пересечения прямой EF и диагонали AC будет обозначена как "O".

    A _______ B
     /       \
  E /_________\ F
   /           \
  D_____________C

Используем подобие треугольников

Заметим, что треугольник AEO и треугольник AFO подобны, так как они имеют два параллельных угла (из-за параллельности прямой EF и боковых сторон) и общий угол EAF.

Теорема подобных треугольников: Если два треугольника имеют два параллельных угла, то они подобны.

Выражение отношения сторон

Мы знаем, что EF = 8. Пусть AE = x и AF = y.

Теперь мы можем создать пропорцию, используя подобие треугольников:

AE/AF = AO/OB

x/y = (x + y)/(a + b)

Используем отношение оснований

Мы также знаем, что a/b = 4. Мы можем решить эту пропорцию относительно a:

a/b = 4 a = 4b

Решение пропорции

Теперь мы можем решить пропорцию:

x/y = (x + y)/(a + b)

Подставим a = 4b:

x/y = (x + y)/(4b + b)

x/y = (x + y)/5b

Подставление известных значений

Мы также знаем, что EF = 8, поэтому x + y = 8:

x + y = 8

Теперь мы можем решить эту систему уравнений:

x + y = 8 x/y = (x + y)/5b

Решение системы уравнений

Из первого уравнения мы можем выразить x через y:

x = 8 - y

Подставим это во второе уравнение:

(8 - y)/y = (8 - y)/5b

Нахождение оснований

Теперь мы можем решить это уравнение относительно b:

(8 - y)/y = (8 - y)/5b

Умножим обе стороны на y(8 - y):

y(8 - y) = (8 - y)(8 - y)/5b

Раскроем скобки:

8y - y^2 = (8 - y)(8 - y)/5b

Переместим все в одну часть уравнения:

8y - y^2 - (8 - y)(8 - y)/5b = 0

Умножим обе стороны на 5b:

40by - 5by^2 - (8 - y)(8 - y) = 0

Раскроем скобки и упростим:

40by - 5by^2 - (64 - 16y + y^2) = 0

40by - 5by^2 - 64 + 16y - y^2 = 0

-5by^2 + (40b + 16)y - y^2 - 64 = 0

Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y:

-5by^2 + (40b + 16)y - y^2 - 64 = 0

Мы можем решить его, используя общую формулу для квадратных уравнений:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

В нашем случае, a = -1, b = (40b + 16), и c = -5b.

Подставим эти значения в формулу и решим уравнение относительно y.

Нахождение a и b

После того, как мы найдем y, мы можем использовать уравнение a = 4b, чтобы найти значение a.

Наконец, мы можем найти значения оснований трапеции, зная значения a и b.

Это подробное решение задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.