Question

В правильной четырехугольной пирамиде МАВСД сторона основания равна 4√3 см , а боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. Найдите объем пирамиды и площадь боковой поверхности.Заранее большое спасибо

Answer 1

Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, в основании квадрат со стороной 4√3 см. Угол МАС=60 градусов.
Рассмотрим треугольник ADC-прямоугольный.
$AC^{2} = AD^{2} + CD^{2}$
$AC^{2} = (4\sqrt{3} )^{2} + (4\sqrt{3} )^{2}$$AC = 4 \sqrt{6}$
Проведем высоту пирамиды МО.
$AO = \frac{AC}{2}$
$AO=2 \sqrt{6}$
Угол AMO=30 градусов (т.к. 180-90-60=30). Катет, лежащий напротив угла в 30 гр., равен половине гипотенузы.
АМ = 2АО
$AM=4 \sqrt{6}$
Рассмотрим треугольник АОМ-прямоугольный.
$MO= \sqrt{ AM^{2}- AO^{2} }$
$MO=6 \sqrt{2}$
Площадь основания: $S= AB^{2} =48$
Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} * S * h$
$V= \frac{1}{3} *48*6 \sqrt{2} =96 \sqrt{2}$

Проведем из т.О перпендикуляр ОК к стороне AD.
Рассмотрим треугольник КОМ-прямоугольный.
$OK= \frac{1}{2} CD$
$OK=2 \sqrt{3}$. $MO=6 \sqrt{2}$
$MK = \sqrt{ (2 \sqrt{3}) ^{2}+ (6 \sqrt{2}) ^{2} } = \sqrt{84}$
$S (AMD) = \frac{1}{2} * MK*AD$
$S= \frac{1}{2} *4 \sqrt{3} * \sqrt{84} =12 \sqrt{7}$
Площадь боковой поверхности:$S = 12 \sqrt{7} *4 = 48 \sqrt{7}$

Answer 2

Для начала найдем высоту пирамиды. Так как боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов, то высота пирамиды равна 4 см * sin(60°) = 4 см * √3 / 2 = 2√3 см.

Теперь можем найти объем пирамиды, используя формулу V = (S * h) / 3, где S - площадь основания, h - высота пирамиды. Площадь основания равна (4√3 см)^2 = 48 см^2. Тогда V = (48 см^2 * 2√3 см) / 3 = 32√3 см^3.

Далее найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Для этого воспользуемся формулой Sб = (P * l) / 2, где P - периметр основания, l - длина бокового ребра. Периметр основания равен 4 * 4√3 см = 16√3 см. Длина бокового ребра равна 4 см. Тогда Sб = (16√3 см * 4 см) / 2 = 32√3 см^2.

Итак, объем пирамиды равен 32√3 см^3, а площадь боковой поверхности равна 32√3 см^2.