Question

ДАЮ 45 БАЛЛОВ Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны AB и CD, соответственно, в точках М и К, вторая - стороны BC и AD, соответственно, в точках N и L. Докажите, что четырехугольник MNKL - параллелограмм.

Answer 1

Пусть O — центр ABCD. AOM и COK равны по УСУ (AO = OC)  поэтому O -середина отрезка MK. Аналогично докажем, что O — середина  NL. Значит, диагонали MK и NL четырёхугольника MNKL пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.  MNKL — параллелограмм 

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник MNKL является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны и равны по длине.

По условию, точка М лежит на стороне AB, точка К - на стороне CD, точка N - на стороне BC и точка L - на стороне AD. Также известно, что прямые, проведенные через точку пересечения диагоналей параллелограмма, делят его на два равные по площади треугольника.

Теперь рассмотрим треугольники AMN и CKM. Поскольку они равны по площади, то их высоты относительно одной и той же основы AB равны, следовательно, MN || AB. Аналогично, из равенства треугольников BKN и DLM следует, что KL || AD.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника MNKL параллельны. Теперь осталось показать, что они равны по длине. Это следует из того, что точки М и К делят сторону CD пополам, а точки N и L - сторону BC.

Таким образом, получаем, что четырехугольник MNKL является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны и равны по длине.