Question

1)Запишите формулу для вычисления (рис. 5): а) MN, если MK = a, NK = b, ∠K = α; б) MK, если MK = a, ∠M = α, ∠K = β; в) ∠M, если MN = a, NK = b, MK = c. 2)Вычислите площадь треугольника MNK, если MK = 6, ∠K = 45°, ∠N = 60°.

Answer 1

$1)\; \; MK=a\; ,\; \; NK=b\; ,\; \; \angle K= \alpha \; ,\; \; MN=?\\\\MN= \sqrt{a^2+b^2-2ab\, cos \alpha }\\\\2)\; \; NK=a\; ,\; \angle M= \alpha \; ,\; \; \angle K=\beta \; ,\; \; MK=?\\\\\frac{MK}{sin(180- \alpha - \beta )}=\frac{a}{sin \alpha } \; ,\; \; \; MK= \frac{a\, sin(180- \alpha - \beta )}{sin \alpha }\\\\3)\; \; MN=a\; ,\; \; NK=b\; ,\; \; MK=c\; ,\; \; \angle M=?\\\\b^2=a^2+c^2-2ac\, cos\angle M\; ,\; \; \; cos\angle M=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$4)\; \; MK=6\; ,\; \; \angle K=45^\circ \; ,\; \; \angle N=60^\circ \; ,\; \; S=?\\\\\angle M=180^\circ-45^\circ -60^\circ =75^\circ \\\\\frac{6}{sin60^\circ }=\frac{MN}{sin45^\circ }\; ,\; \; MN=\frac{6\cdot sin45^\circ }{sin60^\circ }=\frac{6\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{6\sqrt2}{\sqrt3}=\sqrt3\cdot \sqrt2=\sqrt6\\\\S=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot MK\cdot sin75^\circ \\\\sin75^\circ =sin(30^\circ +45^\circ )=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$

$S=\frac{1}{2} \cdot \sqrt6\cdot 6\cdot \frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}=\frac{3\sqrt6\cdot (\sqrt2+\sqrt6)}{4}=\frac{3\sqrt{12}+18}{4}=\frac{3\sqrt3+9}{2}$