Question

В трапеции ABCD (AD II BC) AC - биссектриса угла A делит трапецию на два подобных треугольника ABC и ACD, AB = 9 см, CD = 12 см. Найдите периметр трапеции.

Answer 1

Трапеция ABCD, диагональ AC-она же биссектриса угла BAD, ∠BAD=∠CAD.
∠ACB=∠CAD, как накрест лежащие углы при параллельных прямых, пересеченные третьей. Отсюда ∠ACB=∠BAC, и ΔABC - равнобедренный и AB=BC=9 cm.
По условию ΔABC подобен ΔACD. Если треугольник ABC ранобедренный, то и треугольникACD равнобедренный.Запишем пропорцию .
AC:AD=BC:CD=AB:AC,
BC/CD=AB/AC,  9/12=9/AC,  AC=12·9/9=12,
AC/AD=BC/CD,
12/AD=9/12,
AD=144/9=16cm
P=AB+BC+CD+AD=9+9+12+16=46cm

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства подобных треугольников и свойства трапеции.

По условию задачи, биссектриса угла A делит трапецию ABCD на два подобных треугольника ABC и ACD. Так как треугольники ABC и ACD подобны, их соответствующие стороны пропорциональны.

Пусть x обозначает длину отрезка AC в треугольнике ABC, а y обозначает длину отрезка AC в треугольнике ACD.

Так как треугольники ABC и ACD подобны, мы можем записать следующее уравнение отношения сторон: AB/AC = BC/CD

Подставляя известные значения AB = 9 см и CD = 12 см, мы получаем: 9/x = y/12

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x или y. Для удобства решения выберем x.

Умножим обе части уравнения на x: 9 = (y/12) * x

Теперь, зная, что AC = x + y, мы можем выразить y через x: y = AC - x

Подставим это выражение для y в уравнение: 9 = ((AC - x)/12) * x

Раскроем скобки: 9 = (AC * x - x^2) / 12

Умножим обе части уравнения на 12: 108 = AC * x - x^2

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить относительно x.

Периметр трапеции можно найти, складывая длины всех четырех сторон: Периметр = AB + BC + CD + AD

Подставим известные значения AB = 9 см и CD = 12 см: Периметр = 9 + BC + 12 + AD

Остается найти длины сторон BC и AD.

Из уравнения 9/x = y/12, мы знаем, что BC = (y/12) * x.

Также мы можем выразить AD через x и AC: AD = AC - x.

Теперь мы можем подставить значения BC и AD в формулу для периметра: Периметр = 9 + ((y/12) * x) + 12 + (AC - x)

После подстановки всех известных значений и выражений, мы получим окончательное выражение для периметра трапеции.