Question

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О,причём угол ОВС=углу ODA; BO=OD. Периметр треугольника ВОС равен 26см,а периметр треугольника АОВ равен 32см;AD= 10см. 1) Докажите,что четырёхугольник ABCD-параллелограмм. 2) Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

Answer 1

1) ВС II АD, т.к. угол ОВС=углу ОDА, а они накрест лежащие при ВС и АD и секущей ВD. треугольник ВОС=треугольнику АОD по 2 признаку (ВО=ОD по условию, угол ОВС=углу ОDА по условию, угол ВОС=углу АОD т.к. вертикальные). Следовательно, ВС=АD, АО=ОС. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник - параллелограмм. У нас ВС II АD и ВС=АD, следовательно, АВСD - параллелограмм. 2) ВО+ОС=26-10=16см ВО+ОС=ВО+АО=16см АВ=32-16=16см Р(ADCD)=(16+10)*2=52см.

Answer 2

Решение:

1) Докажем, что четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

Из условия известно, что диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причём угол OVS = углу ODA. Также известно, что BO = OD.

Так как BO = OD и угол OVS = углу ODA, то треугольники BVO и DVO равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, по стороне-углу-стороне (СУС) они равны. Это означает, что стороны BV и DV равны, а значит, угол BVO = углу DVO.

Теперь рассмотрим треугольники AOV и COV. Из условия известно, что периметр треугольника ВОС равен 26 см, а периметр треугольника АОВ равен 32 см.

Так как периметр треугольника ВОС равен 26 см, то стороны VO и VS в сумме дают 13 см. А так как периметр треугольника АОВ равен 32 см, то стороны AO и OV в сумме дают 16 см.

Таким образом, мы видим, что стороны AO и OV больше, чем стороны VO и VS. Это означает, что угол AOV больше, чем угол VOS.

Из этого следует, что углы BVO и DVO равны, а углы AOV и COV равны. Таким образом, углы BVO и COV также равны, и углы DVO и AOV также равны.

Теперь мы можем сделать вывод, что углы BVO и COV равны, а углы DVO и AOV также равны. Это означает, что противоположные углы четырёхугольника ABCD равны, что является свойством параллелограмма.

Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

2) Найдем периметр четырёхугольника ABCD.

Так как четырёхугольник ABCD - параллелограмм, то его стороны будут равны попарно. Пусть сторона AB = CD = a, а сторона BC = AD = b.

Тогда периметр четырёхугольника ABCD будет равен 2a + 2b.

Нам известно, что AD = 10 см, и у нас есть равенство BO = OD.

Так как BO = OD и угол BVO = углу DVO, то треугольники BVO и DVO равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, по стороне-углу-стороне (СУС) они равны.

Из этого следует, что BV = DV, а значит, AB = CD = a = 10 см.

Также нам известно, что периметр треугольника ВОС равен 26 см, то есть VO + VS + OS = 13 см.

Из этого следует, что BO + OD = 13 см, но так как BO = OD, то BO = OD = 6.5 см.

Таким образом, мы нашли стороны AB, BO и OD. Теперь можем найти сторону BC.

Так как периметр треугольника АОВ равен 32 см, то есть AO + OV +