Question

В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведена медиана СМ и высота СН, причем точка Н лежит между А и М. Найдите соотношение АН:АМ, если СМ:СН=5:4.

Answer 1

пускай НС = 4х, 
тогда МС = 5х (такие значения взяты исходя из отношения СМ : СН = 5:4)
 ∆СНМ - прямоугольный (СН - высота)
найдем по т. Пифагора НМ
НМ = √СМ^2 - CH^2) = √(25x^2 - 16x^2)=√(9x^2) = 3x

АМ = МВ = СМ = 5х  (в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна двум отрезкам на которые она делит гипотенузу)
АН = АМ - НМ = 5х - 3х = 2х
АН : АМ = 2х :5х = 2:5

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства медианы и высоты прямоугольного треугольника, а также теорему Пифагора.

Определение соотношения АН:АМ

Давайте обозначим длины отрезков следующим образом: - Пусть СМ = 5x (так как СМ:СН=5:4, а отношение СМ:СН равно 5:4) - Пусть СН = 4x - Пусть АН = а - Пусть МН = b (заметим, что это также половина высоты треугольника, проходящей через точку С)

Использование свойств медианы и высоты

1. Медиана СМ делит гипотенузу пополам, поэтому АМ = 5x / 2 2. Высота СН проходит через вершину прямого угла, поэтому она является радиусом вписанной окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника. Таким образом, СН = СМ / 2 = 5x / 2

Применение теоремы Пифагора

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС: - АС^2 = АВ^2 + ВС^2, где АВ - гипотенуза, а ВС и АС - катеты

Решение для соотношения АН:АМ

1. Используем теорему Пифагора для нахождения длины АС - АВ^2 = ВС^2 + АС^2 - 5^2x^2 = 4^2x^2 + АС^2 - 25x^2 = 16x^2 + АС^2 - 9x^2 = АС^2 - АС = 3x 2. Теперь мы знаем, что АС = 3x. Мы также знаем, что АМ = 5x / 2 и СН = 5x / 2. 3. Таким образом, соотношение АН:АМ = АС:АМ = 3x : (5x / 2) = 6x : 5x = 6:5

Ответ

Итак, соотношение АН:АМ равно 6:5.