Question

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC в точках M, K и P. Найти периметр треугольника ABC, если AP = 5, BM = 6, CK = 7

Answer 1

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Для вписанной в треугольник окружности касательными из одной точки являются
для вершины А - стороны АВ и АС
для вершины В -ВА и ВС
для вершины С -СА и СВ
Отрезки
АМ=АР=5
ВМ=ВК=6
СК=СР=7
Сложив отрезки, принадлежащие каждой из сторон треугольника АВС, получим длину этих сторон.
АВ=5+6=11
ВС=6+7=13
АС=5+7=12
Периметр треугольника АВС=АВ+ВС+АС=11+13+12=36

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые свойства окружностей, вписанных в треугольники, а также теорема тангенсов. Давайте рассмотрим каждую часть задачи и постепенно приблизимся к ответу.

Окружность, вписанная в треугольник ABC

Когда окружность вписана в треугольник, она касается каждой стороны треугольника в одной точке. В данном случае, окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC в точках M, K и P соответственно.

Свойства окружностей, вписанных в треугольники

1. Точка касания окружности с отрезком треугольника является точкой деления этого отрезка на две части. То есть, AM = MB, BK = KC и AP = PC.

2. Сумма длин двух отрезков, образованных точкой касания окружности и стороной треугольника, равна длине третьего отрезка. В данном случае, AM + AP = MP, BK + BM = KM и CK + CP = KP.

Теорема тангенсов

Теперь применим теорему тангенсов к треугольнику ABC. Теорема тангенсов утверждает, что сумма длин двух сторон треугольника, умноженная на тангенс половины соответствующего ему угла, равна длине третьей стороны.

В данном случае, мы знаем длины сторон AB, BC и AC, а также длины отрезков AM, BM и CK. Нам нужно найти периметр треугольника ABC, то есть сумму длин всех его сторон.

Решение

Используя свойства окружностей, вписанных в треугольники, мы можем установить следующие равенства:

AM = MB AP = PC BM = BK CK = KP

Также, используя теорему тангенсов, мы можем записать следующие равенства:

AM + AP = MP BM + BK = KM CK + CP = KP

Теперь подставим известные значения:

AM = BM = 6 AP = PC = 5 BM = BK = 6 CK = KP = 7

AM + AP = MP => 6 + 5 = MP => MP = 11 BM + BK = KM => 6 + 6 = KM => KM = 12 CK + CP = KP => 7 + CP = 7 => CP = 0

Найденные значения длин отрезков MP, KM и CP позволяют нам найти длины сторон треугольника ABC. Теперь мы можем найти периметр треугольника ABC:

AB = AM + MP = 6 + 11 = 17 BC = BM + KM = 6 + 12 = 18 AC = CK + KP = 7 + 7 = 14

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон:

Периметр ABC = AB + BC + AC = 17 + 18 + 14 = 49

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 49.