Question

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 4:3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 9 см.

Answer 1

Пусть в треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1, CC1, которые пересекаются в точке О. По условию, АО/А1О=4/3. Треугольники ABO и A1BO имеют одинаковую высоту, поэтому отношение их площадей равно 4/3. Кроме того, существует формула площади S=1/2ab*sin(a), из которой находим, что $\frac{1/2AB*BO*sin(ABO)}{1/2A_{1}B*BO*sin(A_{1}BO)}=\frac{4}{3}=\frac{AB}{BA_{1}}$. Аналогично получаем, что AC/A1C=4/3. Сложим эти равенства, получим, что 4/3=(AB+AC)/BC, BC=9, AB+AC=12, p=21.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит противоположную ей сторону на две отрезка, пропорциональные смежным сторонам треугольника.

В данной задаче, если длина стороны треугольника, к которой проведена биссектриса, равна 9 см, то мы можем обозначить длину одной из смежных сторон как 4x, а другой смежной стороны как 3x (где х - некоторое число).

Теперь, используя пропорции, мы можем найти значение х:

(4x) / (3x) = 9 / x

Упрощая это уравнение, мы получаем:

4 / 3 = 9 / x

Затем, чтобы решить это уравнение, мы можем умножить обе стороны на 3x:

4x = 27

Делим обе стороны на 4:

x = 27 / 4

Теперь, когда мы знаем значение х, мы можем найти длины смежных сторон треугольника:

Одна смежная сторона: 4x = 4 * (27 / 4) = 27 см Другая смежная сторона: 3x = 3 * (27 / 4) = 20.25 см

Таким образом, длины смежных сторон треугольника равны 27 см и 20.25 см.

Найдем периметр треугольника

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. В данном случае, у нас есть три стороны треугольника: основная сторона, к которой проведена биссектриса (9 см), и две смежные стороны (27 см и 20.25 см).

Поэтому, периметр треугольника равен:

9 + 27 + 20.25 = 56.25 см.

Таким образом, периметр треугольника равен 56.25 см.