Question

В прямоугольнике abcd проведена диагональ ас известно что CAB=2*ACB Найдите периметр

Answer 1

Треугольник АВС - прямоугольный, ∠В=90°, поскольку у в прямоугольнике все углы =90°
Сумма углов любого треугольника 180°, в т.ч. и нашего треугольника АВС.
∠А+∠В+∠С=90°
Поскольку по условию задания CAB=2*ACB, значит в треугольнике АВС
∠А=2*∠С, выходит
2*∠С+90°+∠С=180°
3*∠С=90°
∠С=30°.
Значит ∠А=2*∠С=2*30°=60°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС дальше:
АС-гипотенуза, АВ и ВС - это катеты
cos ∠А=АВ/АС
sin ∠А=ВС/АС

cos ∠А=cos 60°=1/2=0,5
sin ∠А=sin 60°=√3/2=0,5√3

cos ∠А=АВ/АС
0,5=АВ/АС, отсюда АВ=0,5АС

sin ∠А=ВС/АС
0,5√3=ВС/АС, отсюда ВС=0,5АС√3

У прямоугольника противоположные стороны равны, значит АВ=СД=0,5АС, а ВС=АД=0,5АС√3

Периметр равен сумме длины всех сторон прямоугольника, то есть
Периметр=АВ+ВС+СД+АД
Периметр=0,5АС+ 0,5АС√3+ 0,5АС+0,5АС√3
Периметр=АС+АС√3
Периметр=АС*(1+√3)

Ответ: периметр = АС*(1+√3), где АС - это диагональ прямоугольника

Answer 2

Прямоугольник abcd:

a______________b | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | d______________c

Проведем диагональ ac и обозначим углы:

CAB - угол при вершине A ACB - угол при вершине C

Из условия задачи известно, что CAB = 2*ACB.

Для решения задачи нам нужно найти периметр прямоугольника abcd.

Периметр прямоугольника - это сумма всех его сторон.

Обозначим стороны прямоугольника:

AB - сторона параллельная стороне cd BC - сторона параллельная стороне ad AC - диагональ прямоугольника

Так как прямоугольник abcd - прямоугольник, то стороны AB и CD, а также стороны BC и AD равны между собой.

Тогда периметр прямоугольника равен:

P = 2(AB + BC)

Теперь вспомним про углы CAB и ACB.

Из условия задачи известно, что CAB = 2*ACB.

Так как углы при вершине A и вершине C образуют сумму 90 градусов (так как прямоугольник), то у нас есть следующее соотношение:

CAB + ACB = 90

Теперь мы можем выразить угол ACB через угол CAB:

ACB = 90 - CAB

Известно, что CAB = 2*ACB, поэтому:

CAB = 2*(90 - CAB)

CAB = 180 - 2*CAB

3*CAB = 180

CAB = 60 градусов

Теперь мы можем использовать найденный угол CAB, чтобы найти длину стороны AC:

Так как угол CAB = 60 градусов, то у нас есть прямоугольный треугольник с углом 60 градусов, поэтому сторона AC равна AB * √3 (так как это соотношение для прямоугольного треугольника с углом 60 градусов).

Теперь мы можем выразить стороны AB и BC через сторону AC:

AB = AC / √3 BC = AC

Теперь мы можем подставить найденные значения сторон AB и BC в формулу для периметра:

P = 2(AC / √3 + AC)

P = 2AC(1/√3 + 1)

P = 2AC(√3 + 1) / √3

Таким образом, периметр прямоугольника abcd равен 2AC(√3 + 1) / √3.