Question

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC вписана окружность. Она касается стороны BC в точке K. Найдите радиус окружности, если BK = 2, CK = 8.

Answer 1

Используется формула радиуса вписанной окружности, где р - полупериметр треугольника.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства вписанной окружности в равнобедренном треугольнике. Давайте разберемся!

Понимание задачи

У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где основание AC является основанием треугольника, а BK и CK - длины отрезков, на которые основание треугольника AC разбивает сторону BC. Окружность вписана в треугольник ABC и касается стороны BC в точке K. Нам нужно найти радиус этой вписанной окружности.

Решение

Для начала давайте обратимся к свойству вписанной окружности в равнобедренном треугольнике. Это свойство гласит, что биссектриса угла основания треугольника (в нашем случае отрезок BK) делит основание треугольника (отрезок AC) на две равные части.

Мы знаем, что BK = 2 и CK = 8. Следовательно, отрезок BK делит основание AC на две равные части, и мы можем найти длину каждой из этих частей. Длина каждой части будет равна половине длины основания AC:

AC/2 = (BK + CK)/2 = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5

Теперь у нас есть длина каждой из частей основания треугольника AC. Зная это, мы можем найти радиус вписанной окружности, используя формулу:

Радиус (r) = Площадь треугольника / Полупериметр треугольника

Так как у нас равнобедренный треугольник, мы можем найти площадь треугольника, используя формулу:

Площадь треугольника = (база * высота) / 2

В нашем случае, база треугольника AC равна 10 (так как она разбивается отрезком BK на две равные части) и высота треугольника равна радиусу вписанной окружности. Полупериметр треугольника можно найти, сложив длины всех сторон и разделив полученную сумму на 2:

Полупериметр треугольника = (AB + BC + AC) / 2

В нашем случае, AB = AC (так как треугольник равнобедренный), и BC = BK + CK = 2 + 8 = 10. Подставим эти значения в формулу и найдем полупериметр.

Полупериметр треугольника = (AB + BC + AC) / 2 = (AC + 10 + AC) / 2 = (2AC + 10) / 2 = AC + 5

Теперь у нас есть все необходимые значения для нахождения радиуса вписанной окружности:

Радиус (r) = Площадь треугольника / Полупериметр треугольника = ((10 * r) / 2) / (AC + 5) = 5r / (AC + 5)

Мы знаем, что AC = 2 * r (так как BK делит AC на две равные части). Подставим это значение в формулу радиуса и решим уравнение:

r = 5r / (2r + 5)

Умножим обе стороны уравнения на (2r + 5), чтобы избавиться от знаменателя:

r * (2r + 5) = 5r

2r^2 + 5r = 5r

2r^2 = 0

r^2 = 0

r = 0

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 0.

Ответ

Радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, касающейся стороны BC в точке K, равен 0.