Question

Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярной прямой (x-3)/4 = (y-2)/-1 = (z+1)/1

Answer 1

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору:
$A(x-x_0)+b(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$

Здесь $x_0, y_0$ и $z_0$ ‑ координаты точки M, лежащей на плоскости P, A, B и C ‑ координаты вектора, перпендикулярного плоскости P. Этот вектор называется нормальным к плоскости P. он же является и направляющим вектором заданной прямой.

Координаты начала координат - это нули, а направляющий вектор заданной прямой - это числа в знаменателях уравнения прямой: (4;-1;1).

Получаем уравнение искомой плоскости:

$4x-y+z=0.$

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной данной прямой, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем направляющий вектор прямой, который будет параллелен заданной прямой. 2. Используем направляющий вектор прямой для определения нормали к плоскости, так как вектор нормали к плоскости перпендикулярен к самой плоскости. 3. Используем найденную нормаль и начало координат для записи уравнения плоскости в общем виде.

1. Направляющий вектор прямой

Для данной прямой у нас есть коэффициенты направляющего вектора, которые мы можем использовать для получения самого вектора. Коэффициенты направляющего вектора прямой (x-3)/4 = (y-2)/-1 = (z+1)/1 равны (4, -1, 1).

2. Нормаль к плоскости

Так как вектор нормали к плоскости перпендикулярен к самой плоскости, то вектор нормали к плоскости будет иметь коэффициенты, пропорциональные коэффициентам направляющего вектора прямой. Таким образом, нормаль к плоскости будет равна (4, -1, 1).

3. Уравнение плоскости

Уравнение плоскости в общем виде можно записать, используя найденную нормаль и начало координат (0, 0, 0) в виде: Ax + By + Cz = 0

Здесь A, B и C - коэффициенты уравнения плоскости, которые соответствуют компонентам вектора нормали к плоскости.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной прямой (x-3)/4 = (y-2)/-1 = (z+1)/1, будет иметь вид: 4x - y + z = 0