Question

Отрезки AD и BC пересекаются в их общей середине точке M. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.

Answer 1

По условию точка O - середина отрезков AD и BC ⇒ AO = DO и BO = CO

∠AOC = ∠BOD (как вертикальные)

ΔAOC = ΔBOD (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует, что ∠CAO = ∠BDO, а эти углы накрест лежащие.

По теореме о равенстве накрест лежащих углов AC ║ BD

Answer 2

Для доказательства параллельности прямых AC и BD, используем свойство пересекающихся отрезков.

Предположим, что прямые AC и BD не параллельны. Это означает, что они пересекаются в некоторой точке, которую обозначим как точку P.

Так как отрезки AD и BC пересекаются в их общей середине точке M, то точка M является серединой их общего отрезка. Это означает, что AM = MD и BM = MC.

Рассмотрим треугольники APM и CPM. В этих треугольниках AM = MC (так как M - середина отрезка AC) и PM - общая сторона.

Теперь рассмотрим треугольники BDM и ADM. В этих треугольниках BM = MD (так как M - середина отрезка BD) и DM - общая сторона.

Из данных фактов следует, что треугольники APM и CPM равны по двум сторонам и одному углу. Поэтому они равны по всему и, следовательно, углы PAM и PMC равны.

Аналогично, треугольники BDM и ADM равны по двум сторонам и одному углу, поэтому углы PDM и MAD равны.

Таким образом, у нас есть две пары равных углов: PAM и PMC, а также PDM и MAD.

Согласно свойству пересекающихся прямых, если две прямые (в данном случае AC и BD) пересекаются таким образом, что у них есть две пары равных углов, то они параллельны.

Поскольку мы показали, что у прямых AC и BD есть две пары равных углов (PAM и PMC, а также PDM и MAD), мы можем заключить, что прямые AC и BD параллельны.

Таким образом, мы доказали, что прямые AC и BD параллельны при условии, что отрезки AD и BC пересекаются в их общей середине точке M.