Question

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник А1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, OB, ОС и ОD является параллелограммом

Answer 1

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник А1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, OB, ОС и ОD является параллелограммом

Answer 2

Доказательство параллелограмма через середины диагоналей

Для начала, обозначим середины отрезков как A1, B1, C1, D1, соответственно. Теперь, чтобы доказать, что четырехугольник A1B1C1D1 является параллелограммом, нужно доказать, что его противоположные стороны равны и параллельны.

Доказательство равенства противоположных сторон:

1. Обозначим M и N - середины диагоналей AC и BD соответственно. 2. Известно, что в параллелограмме диагонали делятся пополам, следовательно, OM = MA и ON = NB. 3. Из свойств серединных перпендикуляров следует, что A1M = MО и B1N = NО. 4. Теперь можем утверждать, что A1M = MО = A1M и B1N = NО = B1N.

Таким образом, A1M = MО = A1M и B1N = NО = B1N, что подтверждает равенство противоположных сторон четырехугольника A1B1C1D1.

Доказательство параллельности противоположных сторон:

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. 2. Так как О - точка пересечения диагоналей, то в треугольнике AOB и COD диагонали являются медианами. 3. Известно, что медиана треугольника делит ее пополам и параллельна ей. 4. Следовательно, A1B1 и C1D1 параллельны и равны между собой.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника A1B1C1D1 равны и параллельны, что подтверждает, что A1B1C1D1 является параллелограммом.