Question

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9. Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2. а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция. б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Answer 1

Ищем точку пересечения пряой S1M с плоскостью основания . Соединяем S1 с точкой В и с точкой М. В треугольнике SBS1 ВО и S1M являются медианами, пересекаются в точке К. КВ = 2/3 ВО = 2/3 *2/3ВF. F - середина DC.. КВ = 4/9 BF.
По условию DL = 2/9DC = 2/9*2DF = 4/9 DF.
 Значит FL/LD = 5/4  и FK/KB =5/4,  по теореме,обратной теореме Фалеса, LK||DB.
 Следовательно, секущая плоскость пересечет грань DBS по прямой, параллельной DB и проходящей через точку М. Это будет трапеция РМNL. РМ - средняя линия грани и равна 4,5 Отрезки РL и  NМ будут равны из равенства  треугольников MNB, DLP. Трапеция равнобедренная _ доказано. Из подобия треугольников LCN и  DCB  с коэффициентом 7/9 можно найти LN = 7/9 DB = 7.
Ище среднюю линию трапеции, равную полусумме оснований (7+4,5)/2 =11,5/2 =5,75. Остальное видно из чертежа. Задача эта не из простых!!!