Question

В квадрате ABCD точка K - середина стороны Ab, а О - точка пересечения KC и BD. Найдите угол BOK

Answer 1

ΔКВС: ∠В = 90°, по теореме Пифагора
КС = √(a² + (a/2)²) = √(5a/4) = a√5/2
Т.к. диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, О - точка пересечения медиан треугольника АВС.
Значит, КО/ОС = 1/2.
KO = 1/3 KC = 1/3 · a√5/2 = a√5/6
BO/OP = 2/1
BO = 2/3 BP = 2/3 (a√2/2) = a√2/3

ΔВОК: по теореме косинусов
cos∠BOK = (BO² + OK² - BK²)/(2·BO·OK)
cos∠BOK = (2a²/9 + 5a²/36 - a²/4)/(2 · a√5/6 · a√2/3)
cos∠BOK = (4a²/36)/(a²√10/9)  = 1/√10
∠BOK = arccos(1/√10)