Question

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка E, а внутри треугольника- точка D. Перпендикуляр EP к прямой AC делит катет АС пополам, угол В=45*, угол CDA= 90*, угол DCA=60*. Докажите, что EP=DC. Помогите пожалуйста. Даю много пунктов.

Answer 1

я так, на всякий случай :))) имеем РАВНОБЕДРЕННЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ треугольник. Отсюда понятно БЕЗ СЛОВ, что AD = DC = PE = BC/2 (ну, средняя линяя). Построим в нем окружность на стороне АС как на ДИАМЕТРЕ. Точка E САМО СОБОЙ лежит на этой окружности. Поскольку угол CDA прямой, то вершина ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ОПИРАЮЩЕГОСЯ НА ДИАМЕТР, лежит на окружности. Осталось только соединить D и P и заметить, что треугольник DPC - равнобедренный с углом 60 градусов у основания СD, то есть РАВНОСТОРОННИЙ. 

Поэтому CD = PD = PC = AP = PE .... где то среди этих равенств затерялось и нужное нам :)))))))

Answer 2

так как EP перпендикулярно АС и ВС перпендикулярно АС, то ЕР=АР так как треугольники АРЕ и АВС подобны, DC это катет напротив угла в 30 градусов, значит AC=2DC=2EP, EP=DC