Question

В правильной треугольной пирамиде DABC боковые ребра DA,DB и DC взаимно перпендикулярны. Вершина D является центром сферы , на поверхности которой лежат точки A,B, и C. Найдите площадь сферы, если ее высота равна 2*sqrt(3) см.

Answer 1

В правильной треугольной пирамиде DABC боковые ребра DA,DB и DC взаимно перпендикулярны. Вершина D является центром сферы , на поверхности которой лежат точки A,B, и C. Найдите площадь сферы, если ее высота равна 2√3 см.
-------
Понятно,  что 2√3 см - высота пирамиды, т.к. у сферы нет высоты. 
-------------
Боковые ребра пирамиды взаимно перпендикулярны, вершины ∆ АВС лежат на поверхности сферы, D- ее центр, следовательно, все ребра данной пирамиды равны радиусу R сферы, и боковые грани - равнобедренные прямоугольные треугольники/ 
 Боковые ребра пирамиды равны, ⇒ равны  их проекции на плоскость треугольника АВС, ⇒ основание  О высоты DО лежит в центре описанной вокруг ∆ АВС окружности. 
Пусть стороны основания равны 2а. 
Высота DH  боковой грани делит ее на два равнобедренных прямоугольных треугольника, является её  медианой и равна половине стороны основания. DH=a ⇒
R сферы =AD
 АD = DС= a√2 как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника DHC. 
AO=2a /√3 как радиус описанной вокруг ∆ АВС окружности. 
AD²=OD²+AO² 
(a√2)²=(2√3)²+(2a/√3)² 
2a²=12+(4a²/3) 
6a²=36+4a² 
2a²=36 
AD²=36=R²
Sсферы=4πR² 
S=4*36π=144π см²