Question

В треугольнике abc отношения сторон AB:BC:CA=5:7:9; BP и CM - ,bc и cm - биссектрисы, K - середина BC. Найти отношение площадей треугольников ABC и PMK

Answer 1

По теореме о биссектрисе 
$\frac{BM}{AM}=\frac{7}{9}\\ \frac{AP}{PC}=\frac{5}{7}\\ BM+AM=7y+9y=5x\\ AP+PC=5z+7z=9x\\ BK=KC=\frac{7x}{2}\\ \\ BM=\frac{35x}{16}\\ AM=\frac{45x}{16}\\ \\ AP=\frac{45x}{12}\\ PC=\frac{63x}{12}$
Найдем углы треугольника по теореме косинусов  
$cosABC=\frac{81x^2-25x^2-49x^2}{-2*5x*7x}=-\frac{1}{10}\\ cosBAC=\frac{49x^2-25x^2-81x^2}{-2*5x*9x}=\frac{19}{30}\\ cosBCA=\frac{25x^2-81x^2-49x^2}{-2*7x*9x}=\frac{5}{6}\\ \\ MK=\frac{7x\sqrt{97}}{16}\\ KP=\frac{7\sqrt{3}x}{4}\\ MP=\frac{21x\sqrt{5}}{16}$
По формуле  Герона   
$p=\frac{7x+5x+9x}{2}=\frac{21x}{2}\\ S_{ABC}=\sqrt{\frac{21x}{2}(\frac{21x}{2}-7x)(\frac{21x}{2}-5x)(\frac{21x}{2}-9x)} = \frac{21\sqrt{11}x^2}{4}$
Теперь площадь MPK но через формулы стороны и углу между ними 
sinMPK=$\frac{7\sqrt{11}}{6\sqrt{15}}$
$S_{MPK}=\frac{\frac{21x\sqrt{5}}{16}*\frac{7\sqrt{3}x}{4}}{2}*\frac{7\sqrt{11}}{6\sqrt{15}}=\frac{343\sqrt{11}x^2}{256}\\ \frac{S_{ABC}}{S_{MPK}}=\frac{192}{45}$