Question

Стороны AB, BC и CA треугольника ABC, равны 6 см, 10 см и 14 см, касаются окружности в точках D, E и F. Найдите AD, DB, BE, EC, CF и FA.

Answer 1

Касательные к окружности из одной точки равны, значит АД=АФ, ВД=ВЕ, СФ=СЕ. Таким образом нам нужно найти всего один из отрезков и, зная длины сторон треугольника, можно найти длины всех отрезков.
Радиус вписанной окружности: ОФ=r=S/p=√[(p-a)(p-b)(p-c)/p],
p=(a+b+c)/2=(6+10+14)/2=15 см.
r=√[(15-6)(15-10)(15-14)/15]=√3 см.
В тр-ке АВС ∠ВАС=α. По теореме косинусов cosα=(АВ²+АС²-ВС²)/(2АВ·АС)=(6²+14²-10²)/(2·6·14)=11/14.
АО - биссектриса, значит ∠ОАС=α/2.
Тангенс половинного угла: tg(α/2)=√[(1-cosα)/(1+cosα)]
tg(α/2)=√[(1-11/14)/(1+11/14)]=√[(3/14):(25/14)]=√(3/25)=√3/5.
В прямоугольном тр-ке АОФ tg(α/2)=ОФ/АФ ⇒ АФ=ОФ/tg(α/2)=√3/(√3/5)=5 cм.
АФ=АД=5 см (!).
ВД=ВЕ=АВ-АД=6-5=1 см (!).
СФ=СЕ=АС-АФ=14-5=9 см (!).