Question

Помогите разобраться!!! Радиус вписанного в прямоугольный треугольник круга равен 6,а радиус описанного круга равен 15.Чему равна площадь этого треугольника?

Answer 1

Путь данный треугольник будет АВС. Угол С=90º 
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. ⇒ 
Гипотенуза АВ=15*2=30
Вписанная окружность касается сторон треугольника, и точки касания находятся на равном расстоянии от вершин. ( Отрезки касательной из одной точки до точки касания равны), 
Обозначим  К - точку касания на АС, М - точку касания на АВ, Н - точку касания на ВС. 
Тогда КС=СН=r=6, НВ=МВ, АК=АМ. 
Пусть АК=х.
Тогда АС=х+6
МВ=30-х
СВ=6+(30-х) 
Выразим сторону АВ через катеты по т. Пифагора:
АВ²=ВС²+АС²
900=(36-х)²+(х+6)²
В результате возведения в квадрат и приведения подобных членов получим квадратное уравнение 
2х²-60х+432=0
Нет нужды приводить здесь решение этого уравнения подробно. Корни его 12 и 18. 
АК=18, АС=18+6=24 
ВН=12
ВС=12+6=18 
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. 
S=AC*BC:2=24*18:2=216 ( ед. площади)