Question

Длина ребра тэтраэдра SABC равна 6 см. Плоскость сечения проходит через сторону AB основания и перепендикулярна ребру SC. Вычислите объем пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием - сечение данной пирамиды.

Answer 1

Все грани тетраэдра - равносторонние треугольники, значит в тр-ке АSС: АР (высота) = (√3/2)*а = 3√3.
Основание искомой пирамиды - сечение АВР - равнобедренный тр-к с равными сторонами АР и ВР, равными  3√3 и основанием АВ=6. Значит площадь основания искомой пирамиды равна Sо=(b/4)*√(4a²-b²), где а - боковая сторона, b- основание. So =(6/4)*√72 = 9√2.
Осталось найти высоту SО искомой пирамиды. Сечение АВР перпендикулярно грани SС, значит SP перпендикулярна плоскости сечения и является высотой искомой пирамиды.
Тогда объем искомой пирамиды равен: V=(1/3)*So*h = (1/3)*9√2*3 = 9√2см³

Answer 2

Объем пирамиды можно вычислить по формуле: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Поскольку плоскость сечения проходит через сторону ab основания и перпендикулярна ребру sc, она образует равнобедренный треугольник sab. Пусть точка m - середина стороны ab основания пирамиды. Тогда sm - высота пирамиды.

Так как ab равносторонняя сторона тетраэдра, то am = ab/2 = 6/2 = 3 см. Поскольку sc является высотой равнобедренного треугольника sab, то mc = hc, где mc - медиана треугольника sab, а hc - высота равнобедренного треугольника sab. Мы знаем, что mc = (2/3) * hc.

Таким образом, hc = (3/2) * mc = (3/2) * 3 = 4.5 см.

Теперь мы можем вычислить площадь основания пирамиды. Площадь равнобедренного треугольника sab можно найти по формуле: S = (1/2) * a * hc, где a - длина стороны треугольника (ab).

S = (1/2) * 6 * 4.5 = 13.5 см^2.

Итак, мы получили, что площадь основания пирамиды равна 13.5 см^2, а высота пирамиды равна 3 см.

Теперь можно вычислить объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * 13.5 * 3 = 13.5 см^3.

Таким образом, объем пирамиды, вершиной которой является точка s, а основанием - сечение данной пирамиды, равен 13.5 см^3.