Question

Известно что в четырехугольник можно вписать окружность BC=7 ,BA=2,AD,5 найти CD

Answer 1

четырехугольник можно описать около окружности, если суммы его противоположных сторон равны...

AB+CD = BC+DA

2+CD = 7+5

CD = 10

 

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами четырехугольника, в который можно вписать окружность.

1. Рассмотрим четырехугольник ABCD, в который вписана окружность.

2. Согласно свойствам вписанной окружности, сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 градусам.

3. Обозначим углы четырехугольника как ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA и ∠DAB.

4. Так как BC является диаметром окружности, то угол ∠BCD — прямой угол (90 градусов).

5. Также известно, что AB является радиусом окружности, проходящим через точку касания окружности с отрезком AD. Это означает, что ∠BAD — прямой угол.

6. Теперь у нас есть два прямых угла: ∠BCD и ∠BAD.

7. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам.

8. Следовательно, ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360 градусов.

9. Подставим известные значения:

∠ABC + 90° + ∠CDA + 90° = 360°.

10. Упростим уравнение:

∠ABC + ∠CDA = 180°.

11. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Известно, что BA = 2, BC = 7, и угол ∠ABC равен ∠ABC + ∠CDA = 180°.

12. Применим теорему косинусов для треугольника ABC:

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle ABC + \angle CDA)\).

\(7^2 = 2^2 + AC^2 - 2 \cdot 2 \cdot AC \cdot \cos(180°)\).

13. Упростим уравнение:

\(49 = 4 + AC^2 + 4AC\).

\(AC^2 + 4AC - 45 = 0\).

14. Решим квадратное уравнение:

\((AC + 9)(AC - 5) = 0\).

AC = -9 или AC = 5.

Отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте, поэтому AC = 5.

15. Таким образом, CD = AC = 5.