Question

В треугольнике АВС медиана ВЕ перпендикулярна биссектрисе АД. Найдите длину АВ, если АС=12.

Answer 1

(BE и AD местами поменяйте на рисунке)
Пусть ВЕ пересекается с АВ=О. Рассмотри треугольники АВО и АЕО: АО-общая, ∠ВАЕ=∠ЕАО-по свойству биссиктрисы, а ∠ЕОА=∠АОВ=90°, где ВЕ⊥АД- по условию, значит тр.АВО = тр.АЕО - по стороне и двум прилежащим к ней углам, и их соответственные стороны равны, поэтому АЕ=АВ=1/2АС=6см - по свойству медианы.
☺

Answer 2

Мы знаем, что медиана ВЕ перпендикулярна биссектрисе АД, значит они пересекаются в точке О, так что ОВ и ОД - высоты треугольника АВС.

Пусть точка М - середина стороны АС, тогда ВЕ - медиана, и значит делит сторону АС на две равные части.

Точка D - точка пересечения медианы и биссектрисы, значит АД делит угол С на две равные части.

Так как АС = 12, то АМ = СМ = 6 и ДМ = 6, так как D - точка пересечения медианы и биссектрисы, а биссектриса делит угол С на две равные части.

Тогда АД = ДМ + МА = 6 + 6 = 12.

Так как ВЕ - медиана, то ЕО = ОС = 1/2 АС = 1/2 * 12 = 6.

А так как ВЕ перпендикулярна АД и ОВ и ОД - высоты треугольника АВС, то равным из задачи угҮн БОВ и BOA, а значит ОВ = ОА.

Тогда АО = ОВ = 6 и ДА = 12.

Таким образом, мы нашли длину стороны АВ, которая равна АО + ОВ = 6 + 6 = 12.