Question

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник; боковые грани, проходящие через его катеты, перпендикулярны к плоскости основания. Наклонные боковые ребра равны 2дм и 3дм, они образуют с плоскостью основания углы, которые относятся как 2:1. Найдите объем пирамиды

Answer 1

Так как две боковые грани перпендикулярны основанию, то боковое ребро, проходящее через вершину прямого угла, перпендикулярно основанию, т.е. является высотой пирамиды.
sin∠SAC = h/3
sin∠SBC = h/2, значит ∠SAC < ∠SBC.
Обозначим ∠SAC = α, тогда ∠SBC = 2α.
h = 3sinα
h = 2sin2α, получаем уравнение:
3sinα = 2sin2α
3sinα - 2sin2α = 0
3sinα - 4sinα·cosα = 0  (так как sin2α = 2sinα·cosα)
sinα·(3 - 4cosα) = 0
sinα = 0          или            3 - 4cosα = 0
α = 0 - не подходит,        cosα = 3/4
sinα = √(1 - cos²α) = √(1 - 9/16) = √7 / 4

h = 3√7/4 дм

Найдем катеты основания:
b = 3cosα = 9/4 дм
a = 2cos2α = 2(2cos²α - 1) = 2(2·9/16 - 1) = 1/4 дм

Sосн = 1/2 ab = 1/2 · 1/4 · 9/4 = 9/32 дм²

V = 1/3 Sосн·h = 1/3 · 9/32 · 3√7/4 = 9√7/128 дм³

Answer 2

Чтобы найти объем пирамиды, нам необходимо знать площадь основания и высоту.

Дано: - Боковые ребра пирамиды равны 2дм и 3дм, которые образуют с плоскостью основания углы, относящиеся как 2:1. То есть, можно считать, что противолежащие им катеты прямоугольного треугольника в плоскости основания имеют длины 2 и 4, а гипотенуза 3.

Поскольку катеты и гипотенуза образуют прямоугольный треугольник, мы можем найти его площадь по формуле: S = (катет1 * катет2) / 2. То есть, площадь основания пирамиды равна S = (2 * 4) / 2 = 4 квадратных дециметра.

Также из условия известно, что высота пирамиды равна 3 дециметра.

Используя формулу для объема пирамиды, V = (S * h) / 3, где S - площадь основания, h - высота, подставляем полученные значения: V = (4 * 3) / 3 = 4 кубических дециметра.

Таким образом, объем пирамиды равен 4 кубическим дециметрам.