Question

Треугольник ABC −равнобедренный, AB= BC=11 , AC =14. Найти расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересе-чения биссектрис. Заранее спасибо

Answer 1

Обе точки лежат на высоте треугольника, которая является одновременно и медианой и биссектрисой. Медиана делит высоту в соотношении 2:1, а биссектриса на части пропорциональные сторонам треугольника. Найдем высоту.

 

ВD = √AB²-AD² = √11²- 7² = 6√2

 

Медиана отсекает участок 6√2:3=2√2  от основания.

 

Биссектриса отсекает участок (7/18)*BD = (7/3)√2

 

Искомое расстояние  (7/3)√2 - 2√2 = [(7-6)/3]√2 = (√2)/3 ≈ 0,47

Answer 2

Для решения этой задачи давайте сначала найдем координаты вершин треугольника ABC. Обозначим вершины как A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃). Так как треугольник равнобедренный, то B будет серединой отрезка AC.

Поскольку AB=BC=11, то длина отрезка AB равна длине отрезка BC. Поскольку B - середина AC, то точка B будет находиться посередине отрезка AC. Это позволяет нам найти координаты B:

\[ x₂ = \frac{x₁ + x₃}{2} \] \[ y₂ = \frac{y₁ + y₃}{2} \]

Теперь у нас есть координаты вершины B, и мы можем найти уравнения медиан треугольника. Медианы - это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон. Для медианы, идущей из вершины A, координаты середины отрезка BC (то есть точки B) будут координатами точки пересечения медиан.

Теперь давайте найдем уравнение прямой, проходящей через A и B:

\[ y - y₁ = \frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}(x - x₁) \]

Подставим координаты A и B:

\[ y - y₁ = \frac{\frac{y₁ + y₃}{2} - y₁}{\frac{x₁ + x₃}{2} - x₁}(x - x₁) \]

Теперь давайте найдем точку пересечения медиан. Она будет иметь координаты (x, y), которые удовлетворяют уравнению выше.

Теперь давайте найдем уравнение биссектрисы треугольника. Биссектриса делит угол треугольника пополам, поэтому мы можем использовать формулу биссектрисы для треугольника ABC:

\[ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} \]

где D - точка пересечения биссектрисы с отрезком AC. Мы уже знаем координаты точек B и C, поэтому можем найти уравнение прямой, проходящей через них. После этого найдем точку D.

Теперь у нас есть координаты точек пересечения медиан и биссектрис. Расстояние между двумя точками \((x₁, y₁)\) и \((x₂, y₂)\) можно найти с использованием формулы расстояния между двуми точками:

\[ d = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2} \]

Подставим координаты точек пересечения медиан и биссектрис в эту формулу, чтобы найти расстояние между ними.

Таким образом, шаги для решения задачи: 1. Найти координаты точки B. 2. Найти уравнение медианы и найти точку пересечения медиан. 3. Найти уравнение биссектрисы и найти точку пересечения биссектрисы. 4. Используя формулу расстояния между двумя точками, найти расстояние между точками пересечения медиан и биссектрисы.