Question

Бисектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, длинной 75см и 100см. На какие отрезки поделит гипотенузу высота этого треугольника

Answer 1

использовано свойство биссектрисы, признак подобия треугольников, пропорциональность сходственных сторон

Answer 2

"Нестандартное" решение. Но зато понятное.

a, b, c - стороны треугольника, h - высота к гипотенузе, x и y - отрезки гипотенузы, на которые её делит высота (x имеет общий конец с а)

Ясно (по свойству биссектрисы), что a/b = 75/100 = 3/4; то есть треугольник подобен "египетскому" треугольнику со сторонами 3,4,5.

Поскольку c = 100 + 75 = 175; то коэффициент подобия равен 175/5 = 35; 

Высота делит прямоугольный треугольник на два, ему же подобных, поэтому

x/a = a/c; x = a^2/c; y = b^2/c; или просто y = c - x;

В "египетском" треугольнике 3,4,5  x = 9/5; y = 16/5, а  в подобном ему - заданном в задаче треугольнике все размеры в 35 раз больше, поэтому 

Ответ: x = 35*9/5 = 63; y = 35*16/5 = 112.

 

(Конечно, x  + y = c = 175 = 5*35; а = 3*35 = 105, b = 4*35 = 140; в "египетском" треугольнике 3,4,5 высота равна 3*4/5 = 2,4; а в заданном h = 2,4*35 = 84; всё это в решении не пригождается - просто для полноты информации)

Answer 3

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся свойствами бисектрисы прямоугольного треугольника.

Бисектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на два отрезка, которые являются пропорциональными сегментами между гипотенузой и соответствующими катетами.

Пусть длина первого отрезка, который бисектриса делит гипотенузу, равна 75 см, а длина второго отрезка равна 100 см. Обозначим эти отрезки как x и y соответственно.

Таким образом, у нас есть пропорция: x/y = (гипотенуза - x)/(гипотенуза - y)

Подставим известные значения: 75/100 = (гипотенуза - 75)/(гипотенуза - 100)

Теперь решим эту пропорцию. Для этого умножим обе части на (гипотенуза - 100), чтобы избавиться от знаменателя:

75(гипотенуза - 100) = 100(гипотенуза - 75)

Упростим уравнение:

75гипотенуза - 7500 = 100гипотенуза - 7500

Вычтем 75гипотенуза и добавим 7500 к обеим сторонам уравнения:

25гипотенуза = 0

Делим обе части на 25:

гипотенуза = 0

Видим, что у нас получилось уравнение без решения. Это означает, что в данной задаче невозможно определить длины катетов и гипотенузы треугольника, так как получившаяся пропорция неправильна.

Вывод: Невозможно определить, на какие отрезки поделит гипотенузу высота прямоугольного треугольника в данной задаче.