Question

Найдите : a) sin a и tg a,если cos a =1/2 б) sin a и tg a,если cos a = 2/3 в)cos a и tg a ,если sin a -√3/2 г) cos a и tg a ,если sin a =1/4

Answer 1

А) sin^2a+cos^2a= 1
отсюда синус = 1-1/4 = корень из 3/2
тангенс - синус / косинус
корень из 3/2 / 1/2 = корень из 3
остальные аналогично

Answer 2

Конечно, я могу помочь с этими вычислениями.

Для каждого из этих случаев, мы будем использовать тригонометрические тождества для нахождения других тригонометрических функций.

а) Пусть \( \cos{a} = \frac{1}{2} \)

Используем тождество \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\):

\[ \sin^2{a} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2{a} + \frac{1}{4} = 1 \] \[ \sin^2{a} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Теперь найдем \(\sin{a}\):

\[ \sin{a} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Используем определение тангенса \(\tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}}\):

\[ \tan{a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \]

б) Пусть \( \cos{a} = \frac{2}{3} \)

Используем тождество \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\):

\[ \sin^2{a} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2{a} + \frac{4}{9} = 1 \] \[ \sin^2{a} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \]

Теперь найдем \(\sin{a}\):

\[ \sin{a} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \]

Используем определение тангенса \(\tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}}\):

\[ \tan{a} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]

в) Пусть \( \sin{a} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Так как \(\sin{a} < 0\) и \(\cos{a} > 0\) (в первой четверти тригонометрической окружности), мы можем использовать тождество \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\) и \(\cos{a} = \sqrt{1 - \sin^2{a}}\):

\[ \cos{a} = \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \] \[ \cos{a} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \]

Теперь найдем \(\tan{a}\):

\[ \tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \]

г) Пусть \( \sin{a} = \frac{1}{4} \)

Так как \(\sin{a} > 0\) и \(\cos{a} > 0\) (в первой четверти тригонометрической окружности), мы можем использовать тождество \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\) и \(\cos{a} = \sqrt{1 - \sin^2{a}}\):

\[ \cos{a} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} \] \[ \cos{a} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \]

Теперь найдем \(\tan{a}\):

\[ \tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} \]