Question

Высоты вв1 и сс1 остроугольного треугольника пересекаются в точке Е. докажите,что углы ВВ1С1 и ВСС1 равны

Answer 1

Треугольники В1ЕС и С1ЕВ подобны по трём углам, угол В1ЕС=углу ВЕС1 как вертикальные, угол ЕВ1С= углу ЕС1В=90. =>угол ЕСВ1= углу ЕВС1.

В1Е/ЕС=ЕС1/ЕВ=sin(ECB1)=sin(EBC1)
т.к. В1Е/ЕС=ЕС1/ЕВ то значит треугольники В1ЕС и СЕВ подобны по двум сторонам и углу между ними. => угол С1В1Е= углу ВСЕ

Answer 2

Вариант решения
Треугольники ВВ₁С и СС₁В - прямоугольные, т.к. высоты пересекаются с соответствующими сторонами под прямым углом.
Вокруг этих треугольников можно описать одну окружность, т.к. гипотенуза ВС у них - общая, и радиус этой окружности будет одним и тем же для описанной вокруг каждого треугольника окружности.
Т.е. точки С и В₁ будут лежать на одной и той же окружности. 
Углы ВВ₁С₁ И ВСС₁  - вписанные и опираются на одну и ту же дугу, стягиваемую хордой С₁В. 
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу - равны, ч.т.д.

Answer 3

Для доказательства равенства углов ВВ1С1 и ВСС1 в остроугольном треугольнике, в котором высоты ВВ1 и СС1 пересекаются в точке Е, мы можем использовать свойства перпендикулярных прямых и вертикальных углов.

Свойство перпендикулярных прямых:

Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны между собой. В нашем случае, высоты ВВ1 и СС1 перпендикулярны к основанию треугольника, которое обозначено как ВС.

Свойство вертикальных углов:

Вертикальные углы равны между собой. В нашем случае, угол ВВ1С1 и угол ВСС1 являются вертикальными углами, так как они образуются пересечением двух прямых.

Теперь мы можем приступить к доказательству равенства углов:

1. Рассмотрим треугольник ВВ1С1. Высота ВВ1 и основание ВС являются перпендикулярными прямыми, поэтому они параллельны друг другу. 2. По свойству вертикальных углов, угол ВВ1С1 равен углу ВСС1, так как они оба являются вертикальными углами. 3. Таким образом, угол ВВ1С1 и угол ВСС1 равны между собой.

Доказательство завершено. Углы ВВ1С1 и ВСС1 в остроугольном треугольнике, в котором высоты ВВ1 и СС1 пересекаются в точке Е, равны между собой.