Question

В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB1 и CC1 . Докажите, что треугольники B1AC1 и ABC подобны.

Answer 1

Подобие получившихся прямоугольных треугольников доказывается легко:
прямоугольные треугольники с двумя вертикальными ((равными))) углами --- 
подобны по двум углам...
запишем соответствующую пропорцию:
ВВ1 / СС1 = АВ1 / АС1 = АВ / АС (((гипотенузы всегда пропорциональны...))) 
последнее равенство можно переписать так:
АВ1 / АВ = АС1 / АС
ведь в пропорции произведение крайних членов = произведению средних членов))) значит произведение средних членов можно записать АС1*АВ = АВ*АС1
ведь от перестановки сомножителей произведение не меняется...
т.е. равенства тождественно верны)))
но второе равенство читается так: стороны треугольника АВ1С1 пропорциональны сторонам треугольника АВС (((две стороны))), но углы между этими сторонами равны (((как вертикальные))) --- имеем второй признак подобия треугольников...
треугольники АВ1С1 и АВС подобны)))))

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников B1AC1 и ABC, мы должны показать, что их углы соответственно равны, а их стороны пропорциональны.

Углы треугольников:

Поскольку BB1 и CC1 являются высотами треугольника ABC, они перпендикулярны соответственно к AC и AB. Таким образом, углы B1AC1 и BAC являются прямыми углами и равны 90 градусам.

Соответствующие стороны:

Для доказательства пропорциональности сторон треугольников, мы можем использовать теорему подобия треугольников. В данном случае, мы можем использовать теорему о высотах треугольника.

Теорема о высотах треугольника гласит, что длина каждой высоты треугольника пропорциональна соответствующей стороне, на которую она опущена. Таким образом, можно записать следующие пропорции:

B1C1 / BC = BB1 / AB B1C1 / AC = CC1 / BC

Доказательство подобия треугольников:

Теперь, чтобы доказать подобие треугольников B1AC1 и ABC, мы должны показать, что соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

# Углы:

Мы уже установили, что углы B1AC1 и BAC равны 90 градусам.

# Стороны:

Используя пропорции, которые мы записали ранее, мы можем привести их к виду:

B1C1 / BC = BB1 / AB B1C1 / AC = CC1 / BC

Упростим пропорции:

B1C1 / BC = BB1 / AB B1C1 / AC = CC1 / BC

Умножим обе стороны первого уравнения на BC и второго уравнения на AC:

B1C1 = (BB1 / AB) * BC B1C1 = (CC1 / BC) * AC

Мы видим, что правые части обоих уравнений равны. Следовательно, левые части также равны:

(BB1 / AB) * BC = (CC1 / BC) * AC

Мы можем переписать это уравнение в виде:

(BB1 / AB) = (CC1 / BC) * (BC / AC) (BB1 / AB) = CC1 / AC

Таким образом, мы видим, что соответствующие стороны пропорциональны:

BB1 / AB = CC1 / AC

Таким образом, мы доказали, что треугольники B1AC1 и ABC подобны.