Question

Квадрат со стороной 24 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а во второй провальной четырехугольной призмы. Сравните объемы этих призм

Answer 1

Одна сторона квадрата  h=b=24 - это высота призмысмежная с ней сторона квадрата  P=b=24 - это периметр основаниявысота  одна и та же   h=b=24 - это высота призмыв правильной треугольной призмы  -  сторона основания  a=P/3=b/3=24/3=8 смплощадь основания S∆= a^2√3/2=8^2√3/2=64√3/2=32√3 см2объем призмы   V∆=S∆*h=32√3hв правильной четырехугольной призмы  -  сторона основания  c=P/4=b/4=24/4=6 смплощадь основания S□= c^2=6^2=36 см2объем призмы   V□=S□*h=36h V∆ /V□ =32√3h /36h =8√3 / 9 =8√3 : 9ОТВЕТ   V∆ /V□ =   8√3 / 9 =8√3 : 9

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую ситуацию по отдельности.

Первый случай: Квадрат свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы.

Если квадрат со стороной 24 см свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, то у нас получится треугольник, высота которого равна стороне квадрата, а основание треугольника равно периметру квадрата.

Периметр квадрата: \[ P = 4 \times \text{сторона} = 4 \times 24 \, \text{см} = 96 \, \text{см} \]

Таким образом, основание треугольной призмы равно 96 см. Высота треугольника (и призмы) равна стороне квадрата, то есть 24 см.

Площадь основания треугольной призмы: \[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \] \[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 96 \, \text{см} \times 24 \, \text{см} = 1152 \, \text{см}^2 \]

Теперь мы можем найти объем треугольной призмы: \[ V_{\text{тр}} = S_{\text{осн}} \times \text{высота} \] \[ V_{\text{тр}} = 1152 \, \text{см}^2 \times 24 \, \text{см} = 27,648 \, \text{см}^3 \]

Второй случай: Квадрат свернут в виде боковой поверхности провальной четырехугольной призмы.

В этом случае также получится треугольник, но его высота будет равна половине стороны квадрата (по средней линии провала). Основание треугольной призмы будет равно периметру квадрата.

Высота треугольника: \[ h = \frac{1}{2} \times \text{сторона} = \frac{1}{2} \times 24 \, \text{см} = 12 \, \text{см} \]

Основание треугольной призмы также равно 96 см (периметр квадрата).

Площадь основания треугольной призмы: \[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \] \[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 96 \, \text{см} \times 12 \, \text{см} = 576 \, \text{см}^2 \]

Объем треугольной призмы: \[ V_{\text{тр}} = S_{\text{осн}} \times \text{высота} \] \[ V_{\text{тр}} = 576 \, \text{см}^2 \times 12 \, \text{см} = 6912 \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объемы этих призм различны: объем треугольной призмы, образованной боковой поверхностью первого квадрата, больше объема треугольной призмы, образованной боковой поверхностью второго квадрата.