Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 242√3. Один из острых углов равен 60∘. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Answer 1

ΔABC - прямоугольный : ∠C = 90°; ∠A = 60°; S = 242√3

Найти длину катета АС

По свойству острых углов прямоугольного треугольника

∠B = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°

Катет АС лежит против угла 30° ⇒ равен половине гипотенузы АВ ⇒

АВ = 2 АС

Площадь треугольника можно вычислить по формуле

$S_{ABC}=\dfrac{AC*AB*sinA}{2}= \\ \\ =\dfrac{AC*2AC*sin60^o}{2}=\dfrac{2AC^2*\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}AC^2$

По условию

$S_{ABC} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}AC^2=242\sqrt{3} \\ \\ AC^2 = 242*2 \\ AC = \sqrt{484} = 22$

Ответ: длина катета равна 22

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника следующим образом:

- Пусть \( a \) и \( b \) будут катетами (сторонами, прилегающими к острым углам). - Пусть \( c \) будет гипотенузой (противоположной прямому углу).

Так как один из острых углов равен \( 60^\circ \), мы можем использовать свойства треугольников 30-60-90. В таком треугольнике отношения сторон \( a : b : c \) равны \( 1 : \sqrt{3} : 2 \).

Таким образом, у нас есть следующие соотношения:

\[ a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2 \]

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна \( 242\sqrt{3} \). Площадь можно выразить через катеты следующим образом:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2}ab \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{1}{2}ab = 242\sqrt{3} \]

Теперь у нас есть уравнение для площади треугольника. Мы также можем использовать свойства отношений сторон треугольника 30-60-90:

\[ a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2 \]

Таким образом, мы можем записать \( b = \sqrt{3}a \) и \( c = 2a \).

Теперь мы можем подставить эти выражения в уравнение для площади:

\[ \frac{1}{2}a(\sqrt{3}a) = 242\sqrt{3} \]

Решив это уравнение, мы найдем значение \( a \), а затем сможем найти длину катета \( b \).

Я оставлю вам этот расчет. Пожалуйста, выполните эти шаги, и если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задать их мне.