Question

.Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его вы сотой, то треугольник равнобедренный.

Answer 1

Т.к биссектриса совпоадает с высотой, значит у них есть общая сторона, и одинаковее углы( прямые), а ещё т.к данный отрезок является биссектрисой, то углы при вершине также равны, из этого следует, что треугольники полученные после разделения высотой(биссектрисой) большого треугольника равны, а это значит, что две стороны треугольника равны, следовательно треугольник равнобедренный.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольник ABC, где AD - биссектриса, а AD и BC пересекаются в точке D.

Предположим, что биссектриса AD совпадает с высотой BH треугольника ABC. Тогда у нас есть:

1. Треугольник ABD, где AD - биссектриса, и треугольник ABH, где BH - высота. 2. Углы ABD и ABH равны, так как AD совпадает с BH. 3. Углы BDA и BHA тоже равны, так как это углы при основании треугольников.

Таким образом, у нас есть два угла в треугольнике ABH, которые равны соответствующим углам в треугольнике ABD. Следовательно, по признаку углов треугольники ABD и ABH подобны.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. У нас есть:

1. Угол BDC, который равен сумме углов BDA и ADB (так как это угол при основании треугольника BCD). 2. Угол BDC также равен сумме углов BHD и DHB (по той же причине).

Таким образом, у нас есть углы в треугольнике BCD, которые равны соответствующим углам в треугольнике BHD. Следовательно, по признаку углов треугольники BCD и BHD подобны.

Из подобия треугольников следует, что отношение сторон AD/AB, BD/BH и CD/BC равно. Но так как AD/AB = 1/2 (по определению биссектрисы), то BD/BH также равно 1/2.

Теперь, рассматривая треугольник ABD, видим, что BD/BH = AD/AH = 1/2. Таким образом, треугольник ABD является равнобедренным, так как боковые стороны AB и AD имеют равные отношения к основанию BD.

Таким образом, если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник является равнобедренным.