Question

Решите плиз! 1,Концы отрезка АВ лежат на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно d, причем d < АВ. Докажите, что проекции отрезка АВ на эти плоскости равны. Найдите эти проекции, если АВ = 13 см, d = 5 см. 2. Углы между равными отрезками АВ и АС и плоскостью α, проходящей через точку А, равны соответственно 40° и 50°. Сравните расстояния от точек В и С до плоскости α.

Answer 1

1. 
Расстоянием между параллельными плоскостями является расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости. 

Расстояние от точки  до плоскости  -- это длина перпендикуляра , опущенного из этой точки  на плоскость. ⇒

ВС - перпендикуляр, и треугольник АВС - прямоугольный. Так как все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от другой плоскости, то АА₁=ВС, и прямоугольные треугольники АВА₁ и АВС равны, т.к. у них общая гипотенуза и по равному катету. ⇒ АС=А₁В.

Определение: Проекция точки на плоскость -- это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Множество проекций точек прямой на плоскость образуют проекцию этой прямой.⇒ А₁В и АС- проекции отрезка АВ на каждую из плоскостей. 

Стороны треугольника АВС составляют одну из Пифагоровых троек, где стороны прямоугольного треугольника - целые числа. В этой тройке больший катет равен 12 ( можно проверить по т. Пифагора). 

Проекции отрезка АВ на параллельные плоскости равны.  АС=А₁В=12

-----

2.

Расстояние от точки  до плоскости  -- это длина перпендикуляра , опущенного из этой точки  на плоскость. Следовательно, углы ВВ₁А=СС₁А=90°
В треугольниках АВВ₁ и АСС₁ гипотенузы равны по условию,  равны и их острые углы: угол АВВ₁=90°- 40°=50°, угол АСС₁=90°-50°=40°. Следовательно, эти треугольники равны, и ВВ₁=АС₁. В   треугольнике больше та сторона, что лежит против большего угла.
СС₁>АС₁⇒ СС₁>ВВ₁

Answer 2

Дано: - Концы отрезка АВ лежат на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно d, где d < АВ. - Углы между равными отрезками АВ и АС и плоскостью α, проходящей через точку А, равны 40° и 50° соответственно.

Доказательство равенства проекций отрезка АВ на параллельные плоскости

Для начала, докажем, что проекции отрезка АВ на две параллельные плоскости равны.

Пусть М и N - проекции точек А и В на первую параллельную плоскость, а P и Q - проекции точек А и В на вторую параллельную плоскость.

Так как М и N - проекции точек А и В на первую плоскость, то отрезок МN параллелен отрезку АВ и имеет длину d. Аналогично, отрезок PQ параллелен отрезку АВ и имеет длину d.

Теперь рассмотрим треугольники АММ' и ВNN'. Здесь М' и N' - проекции точек M и N на вторую плоскость.

Так как АММ' и ВNN' - прямоугольные треугольники (проекции перпендикулярны соответствующим сторонам), и отрезок МN параллелен отрезку АВ, то треугольники АММ' и ВNN' подобны друг другу по двум углам.

Таким образом, отношение длин гипотенузы к катету в треугольниках АММ' и ВNN' будет одинаковым:

AM / АМ' = BN / ВN'

А так как AM = BN (так как это проекции одного и того же отрезка АВ), то получаем:

1 / АМ' = 1 / ВN'

То есть, АМ' = ВN'.

Аналогично, можно доказать, что М'N' = PQ = d.

Таким образом, проекции отрезка АВ на две параллельные плоскости равны.

Нахождение проекций отрезка АВ и сравнение расстояний от точек В и С до плоскости α

Теперь вычислим значения проекций отрезка АВ и сравним расстояния от точек В и С до плоскости α.

Из условия задачи известно, что АВ = 13 см и d = 5 см.

Для нахождения проекций отрезка АВ на плоскость α, нужно учитывать углы между равными отрезками АВ и АС и плоскостью α.

По углу между АВ и α (40°), можно найти проекцию отрезка АВ на плоскость α:

Проекция АВ на плоскость α = АВ * cos(40°)

По углу между АС и α (50°), можно найти проекцию отрезка АС на плоскость α:

Проекция АС на плоскость α = АС * cos(50°)

Теперь, для сравнения расстояний от точек В и С до плоскости α, нужно вычислить эти расстояния.

Расстояние от точки В до плоскости α = проекция В на плоскость α - проекция АВ на плоскость α

Расстояние от точки С до плоскости α = проекция С на плоскость α - проекция АС на плоскость α

Подставляем вычисленные значения и находим расстояния от точек В и С до плоскости α.