Question

Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются, то его вершины лежат в одной плоскости

Answer 1

Противоположные вершины четырехугольника являются концами отрезков, которые пересекаются, т.е. диагоналей, поскольку диагональ четырехугольника - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины. Через две пересекающиеся прямые всегда можно провести плоскость и только одну, т.е. две пересекающиеся прямые всегда принадлежат некоторой плоскости. Если прямая принадлежит плоскости, значит каждая ее точка принадлежит этой плоскости, следовательно вершины четырехугольника лежат в одной плоскости, поскольку принадлежат пересекающимся прямым, которые содердат диагонали четырехугольника.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся двумя фактами: 1) В трехмерном пространстве, три точки лежат в одной плоскости, если они не лежат на одной прямой. 2) Диагонали четырехугольника пересекаются в одной точке, если и только если, сумма длин любых двух диагоналей равна сумме длин двух других диагоналей.

Предположим, что диагонали четырехугольника пересекаются в точке O. Для доказательства, что все вершины лежат в одной плоскости, рассмотрим три случая:

1) Вершина A лежит на отрезке OB. В таком случае, диагонали AO и BO пересекаются в точке O, а диагонали CO и DO пересекаются в точке O. Отсюда следует, что все четыре вершины A, B, C и D лежат в одной плоскости.

2) Вершина B лежит на отрезке OA. Аналогично предыдущему случаю, диагонали AO и BO пересекаются в точке O, а диагонали CO и DO пересекаются в точке O. Отсюда также следует, что все четыре вершины лежат в одной плоскости.

3) Вершина A лежит на отрезке CD. В этом случае, диагонали AC и BD пересекаются в точке O, а диагонали AO и BO пересекаются в точке O. Снова получаем, что все четыре вершины лежат в одной плоскости.

Таким образом, во всех возможных случаях, если диагонали четырехугольника пересекаются в одной точке, то его вершины лежат в одной плоскости.