Question

В прямоугльный треугольник вписан круг. Точкой соприкасновения делит один из катетов на отрезки 3 см и 9 см, начиная от вершини прямого угла. Найти второй катет и гипотенузу

Answer 1

Пусть имеем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А.
Стороны треугольника как касательные к вписанной окружности равны:
АВ = 3+9 = 12 см.
АС = 3 + х,
ВС = 9 + х.
По Пифагору 12² + (3+х) = (9+х)².
144+9+6х+х² = 81+18х+х².
12х = 153-81 = 72,
х = 72/12 = 6 см.
Тогда АС = 3+6 = 9 см.
ВС = 9+6 = 15 см.

Answer 2

Чтобы найти второй катет и гипотенузу прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, мы можем использовать свойства вписанных треугольников и прямоугольных треугольников.

Свойства вписанных треугольников

Когда треугольник вписан в окружность, сумма углов, образованных двумя хордами, равна 180 градусам. В данном случае у нас есть прямоугольный треугольник, поэтому один из углов равен 90 градусам. Таким образом, сумма двух других углов должна быть 90 градусов.

Свойства прямоугольных треугольников

В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 90 градусам, есть несколько важных соотношений между сторонами треугольника:

1. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a и b, справедливо следующее уравнение: c^2 = a^2 + b^2.

2. Отношение длин катетов: В прямоугольном треугольнике отношение длин катетов равно отношению длины каждого катета к гипотенузе. Или, иначе говоря, a/b = b/c.

Решение задачи

Мы знаем, что один из катетов делится на отрезки длиной 3 см и 9 см. Пусть длина второго катета будет a, а длина гипотенузы - c.

Используем отношение длин катетов: a/3 = 3/a (так как один из катетов делится на отрезки длиной 3 см и 9 см).

Решая это уравнение, мы получим a^2 = 9, что означает, что a = 3 см.

Теперь, используя теорему Пифагора, мы можем найти длину гипотенузы:

c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 3^2 + 9^2 c^2 = 9 + 81 c^2 = 90

Таким образом, гипотенуза треугольника равна корню из 90: c = √90 ≈ 9.49 см.

Итак, длина второго катета равна 3 см, а длина гипотенузы - около 9.49 см.