Question

Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость альфа. точка B не лежит в плоскости альфа. Докажите что прямая проходящая через середины сторон AB и CD параллельна плоскости альфа. Буду сильно благодарна, если с рисунком))))

Answer 1

Через середины сторон AB и СD проведем отрезок MK. Он будет являться средней линией данной трапеции, следовательно, будет параллелен основанию AD, лежащему в плоскости Альфа. По теореме, мы знаем, что если прямая не лежащая в данной плоскости параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и этой плоскости. Итак, AD лежит в плоскости Альфа, а MK параллельна AD, следовательно MK параллельна плоскости Альфа. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Пусть точка M - середина стороны AB, а точка N - середина стороны CD. Проведем прямую MN.

Предположим, что прямая MN не параллельна плоскости альфа. Тогда она пересекает плоскость альфа в точке P.

Так как MP и NP - средние линии в трапеции ABCD, то они равны половине оснований трапеции, то есть MP = NP = (AB + CD) / 2.

Также, так как точка M лежит на прямой MN, то MP = MN / 2.

Из этих равенств следует, что MN = (AB + CD) / 2 = 2 * MP.

Но это противоречит предположению о том, что прямая MN пересекает плоскость альфа, так как в этом случае MN должна быть равна 2 * MP.

Значит, наше предположение неверно, и прямая MN параллельна плоскости альфа.

Таким образом, прямая, проходящая через середины сторон AB и CD, параллельна плоскости альфа.