Question

Докажите, что если высота треугольника проходит через центр описанной около него окружности, то этот треугольник равнобедренный

Answer 1

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.Если серединный перпендикуляр основания совпадает с высотой, то высота делит основание пополам, а значит совпадает с медианой. А это уже признак равнобедренного треугольника.
Может-ли высота пройти через центр окружности и не совпадать с серединным перпендикуляром?  Нет. Иначе получатся 2 перпендикуляра, опущенных их центра на основание. Чего быть не может.  

Answer 2

Для доказательства равнобедренности треугольника, в котором высота проходит через центр описанной около него окружности, воспользуемся свойствами окружности.

Пусть ABC - треугольник, в котором высота AD проходит через центр окружности, описанной около треугольника. Пусть O - центр этой окружности.

Так как AD является высотой треугольника, то угол ADB прямой. Также, по свойству окружности, угол ACB, опирающийся на дугу AB, равен углу AOB, опирающемуся на ту же дугу.

Так как AD проходит через центр окружности, то угол ADB является прямым, а значит, он равен 90 градусам.

Также, угол ACB равен углу AOB, так как они опираются на одну и ту же дугу AB.

Таким образом, получаем, что угол ADB = 90 градусов, а угол ACB = угол AOB.

Из равенства углов ADB и ACB следует, что треугольник ABC является равнобедренным, так как у него два равных угла (ADB и ACB).

Таким образом, если высота треугольника проходит через центр описанной около него окружности, то этот треугольник является равнобедренным.