Question

В правильной треугольной призме ABC A1B1C1 сторона основания равна 2, а высота равна 3. Найдите угол между плоскостями ABC и A1BC.

Answer 1

Угол между плоскостями ---это угол между перпендикулярами, опущенными на линию пересечения плоскостей...
т.е. нужно в основании построить высоту АН
и в равнобедренном треугольнике А1ВС провести высоту А1Н
АА1Н ---прямоугольный треугольник, т.к. призма правильная, т.е. прямая
АН = 2*sin60° = √3
tg(x) = A1A / AH = 3 / √3 = √3
x = 60°

Answer 2

Чтобы найти угол между плоскостями ABC и A1BC, нужно найти угол между нормалями этих плоскостей.

Нормаль плоскости ABC - это векторное произведение векторов AB и AC: n_ABC = AB x AC

Нормаль плоскости A1BC - это векторное произведение векторов A1B1 и A1C1: n_A1BC = A1B1 x A1C1

Найдем эти векторы:

AB = B - A = (0, 0, 0) - (2, 0, 0) = (-2, 0, 0) AC = C - A = (0, 0, 3) - (2, 0, 0) = (-2, 0, 3)

A1B1 = B1 - A1 = (0, 0, 0) - (2, 0, 0) = (-2, 0, 0) A1C1 = C1 - A1 = (0, 0, 3) - (2, 0, 0) = (-2, 0, 3)

Теперь найдем нормали плоскостей:

n_ABC = (-2, 0, 0) x (-2, 0, 3) = (0, 6, 0) n_A1BC = (-2, 0, 0) x (-2, 0, 3) = (0, 6, 0)

Так как нормали этих плоскостей параллельны и сонаправлены, угол между плоскостями ABC и A1BC равен 0 градусов или 180 градусов.