Question

Решите, пожалуйстааа:**Плоскость а пересекает стороны АВ и ВС треугольника ABC в точках М и N соответственно, причем АМ : МВ = 3 : 4,CN : ВС = 3 : 7.а) Докажите, что АС || α.б) Найдите АС, если MN = 16 см.

Answer 1

Примем коэффициент отношения отрезков на АВ равным а,Так как AM : MB = 3:4, то АВ=АМ+ВМ=7а ⇒ AM:AB = 3:7. 

 CN:CB = 3:7- дано. 

а) Точки М и N лежат в плоскости ∆ АВС и в плоскости α. ⇒MN - линия пересечения этих плоскостей. 

МN и АС  высекают на прямых АВ и ВС пропорциональные отрезки. 

Из обобщённой теоремы Фалеса:если отрезки, высекаемые  прямыми на одной прямой, пропорциональны отрезкам, высекаемым теми же прямыми  на другой прямой, то эти прямые параллельны.⇒  АС║MN. 

Если прямая (АС), не лежащая в плоскости α, параллельна некоторой прямой (MN), которая лежит в плоскости α, то прямая  параллельна плоскости . ⇒АС || α

б) Т.к. MN║AC, углы при их пересечении секущими АВ с одной стороны и ВС с другой равны как соответственные. Отсюда следует подобие треугольников MBN  и ABC с коэффициентом подобия k=BC:NC=7:3 ⇒ AC:MN=7:3 

AC:16=7:3––АС=16•7:3=28 см

Answer 2

а) Для доказательства того, что АС || α, нам нужно показать, что соответствующие углы между этими линиями равны.

Поскольку АМ : МВ = 3 : 4 и CN : ВС = 3 : 7, мы можем предположить, что АМ и CN параллельны сторонам ВС и АВ соответственно.

Пусть угол АМВ обозначается как θ1, а угол СНВ обозначается как θ2.

Тогда, поскольку АМ и CN параллельны сторонам треугольника, углы АМВ и СНВ являются соответственными углами.

Таким образом, у нас есть:

θ1 = угол АМВ = угол АВС (по соответственным углам)

θ2 = угол СНВ = угол ВСА (по соответственным углам)

Также, поскольку стороны АМ и ВС пересекаются на плоскости а, углы АМС и ВСА являются вертикальными углами и, следовательно, равными.

Таким образом, угол АМС = угол ВСА = θ2.

Таким образом, у нас есть:

θ1 = угол АВС

θ2 = угол АМС

θ2 = угол ВСА

Из этих равенств следует, что угол АВС равен углу АМС, и поэтому АС || α.

б) Чтобы найти АС, нам нужно знать длину стороны АМ и стороны CN.

Из условия задачи мы знаем, что АМ : МВ = 3 : 4 и CN : ВС = 3 : 7.

Поскольку АМ и МВ являются смежными сторонами треугольника АВМ, а CN и ВС являются смежными сторонами треугольника СВС, мы можем использовать эти отношения, чтобы найти длину стороны АМ и стороны CN.

Пусть длина стороны АМ равна 3х, а длина стороны МВ равна 4х.

Тогда длина стороны CN равна 3y, а длина стороны ВС равна 7y.

Таким образом, у нас есть следующие уравнения:

3х + 4х = АВ

3y + 7y = ВС

7х = 16

10y = 16

Решая эти уравнения, мы находим, что х = 16/7 и y = 8/5.

Теперь мы можем найти длину стороны АС, используя теорему Пифагора:

АС^2 = АМ^2 + МС^2

АС^2 = (3х)^2 + (4х)^2

АС^2 = (3(16/7))^2 + (4(16/7))^2

АС^2 = (48/7)^2 + (64/7)^2

АС^2 = 2304/49 + 4096/49

АС^2 = 6400/49

АС = √(6400/49)

АС = 80/7

Таким образом, если MN = 16 см, то длина стороны АС равна 80/7 см.